إضافة المتجهات

مقال حول جمع المتجهات

1. كميات المتجهات والكميات القياسية

إضافةً إلى الكميات الأساسية والمشتقة، يمكن تقسيم الكميات الفيزيائية إلى نوعين آخرين، هما الكميات القياسية والكميات المتجهة. فالكميات مثل الكتلة والمسافة والزمن والحجم هي كميات قياسية، أي أنها تمتلك مقدارًا فقط دون اتجاه. أما الكميات ذات المقادير مثل الإزاحة والسرعة والتسارع والقوة فهي كميات متجهة، أي أنها تمتلك مقدارًا واتجاهًا.

أ. الفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة

إذا قلتَ إن كتلة كرة ما هي 400 غرام، فهذا يكفي لمعرفة كتلتها. لا تحتاج إلى تحديد اتجاهها. وينطبق الأمر نفسه على الزمن، ودرجة الحرارة، والحجم، والكثافة، وغيرها. فهناك العديد من الكميات الفيزيائية التي لا يمكن التعبير عنها بالمقدار فقط. فإذا قلتَ إن طفلاً تحرك مسافة 100 متر، فهذا غير كافٍ. قد تسأل: أين تحرك؟ هل اتجه شمالاً، أم جنوباً، أم شرقاً، أم غرباً؟ كذلك، إذا قلتَ إنك تدفع الطاولة بقوة 200 نيوتن.

إلى أين تقود سيارتك؟ حسنًا، تُسمى هذه الكميات بالكميات المتجهة، والتي تتطلب شرحًا للمقدار والاتجاه. من أمثلة الكميات المتجهة: الإزاحة، والتسارع، والدفع، والزخم ، وما إلى ذلك. يمكنك فهمها بشكل أوضح عند دراسة المواضيع المتعلقة بهذه الكميات.

ب. ارسم متجهًا

يُشار إلى المتجه بسهم. يُرسم السهم دائمًا بحيث يشير إلى اتجاه المتجه. يُوصف طول السهم بأنه مقدار المتجه. على سبيل المثال، في الشكل، متجه قوة (F) مقداره 2 نيوتن، واتجاهه نحو الشمال الشرقي أو بزاوية 45 ^درجة حول المحور السيني.

ج. قواعد كتابة كميات المتجهات

عند كتابة متجه، إذا كنت تستخدم الكتابة اليدوية، يُكتب رمز المتجه عادةً بخط مائل باستخدام الأحرف الكبيرة، ويُضاف إليه سهم. أما في الكتب المطبوعة، فتُكتب رموز المتجهات بأحرف كبيرة وخط غامق، على سبيل المثال، F. وبالنسبة لمقدار المتجه، إذا استخدمنا الكتابة اليدوية، يُكتب مقدار المتجه، على سبيل المثال، |F|. أما في الكتب المطبوعة، فيُكتب مقدار المتجه بخط مائل، على سبيل المثال ، F.

2. جمع المتجهات - الطرق البيانية

هناك عدة طرق لإضافة المتجهات بيانياً، بما في ذلك طريقة الذيل إلى الرأس وطريقة متوازي الأضلاع.

أ. طريقة جمع المتجهات من الذيل إلى الرأس

المتجهان A وB معلومان. المتجه A = 3 سم يتطابق مع المحور السيني (باتجاه الشرق). المتجه B = 2 سم يصنع زاوية 30 ^درجة مع المحور السيني (باتجاه الشمال الشرقي). اجمع A وB بيانيًا باستخدام طريقة الذيل إلى الرأس. أ) R = A + B ب) R = A – B

يُقاس مقدار المتجه المحصل (R) باستخدام مسطرة. ويُقاس اتجاه المتجه المحصل باستخدام منقلة.

المتجهات المعروفة A وB وC. المتجه A = 3 سم يتطابق مع المحور السيني (باتجاه الشرق). المتجه B = 2 سم يشكل زاوية 30 ^درجة مع المحور السيني (باتجاه الشمال الشرقي). المتجه C = 1 سم يشكل زاوية 60 ^درجة مع المحور السيني (باتجاه الشمال الشرقي). اجمع المتجهات A وB وC بيانيًا باستخدام طريقة الذيل إلى الرأس.

أ) R = A + B + C

ب) R = A – B – C

يُقاس المتجه المحصل (R) باستخدام مسطرة. ويُقاس اتجاه المتجه المحصل باستخدام منقلة.

ب. طريقة متوازي الأضلاع

المتجهات المعروفة A وB وC. المتجه A = 3 سم يتطابق مع المحور السيني (باتجاه الشرق). المتجه B = 2 سم يشكل زاوية 30 ^درجة مع المحور السيني (باتجاه الشمال الشرقي). المتجه C = 1 سم يشكل زاوية 60 ^درجة مع المحور السيني (باتجاه الشمال الشرقي). اجمع المتجهات A وB وC بيانيًا باستخدام متوازي الأضلاع.

أ) R = A + B

ب) R = A – B

ج) R = A + B + C

د) R = أ – ب – ج

يُقاس المتجه المحصل (R) باستخدام مسطرة. ويُقاس اتجاه المتجه المحصل باستخدام منقلة.

3. جمع المتجهات – أتحليلي طريقة

يُعدّ تحديد مقدار واتجاه المتجه المحصل باستخدام الطريقة البيانية أحد الأساليب. وتعتمد دقة النتائج على دقة الرسم وقراءة المقياس. ويمكن الحصول على مقدار واتجاه المتجه المحصل بدقة أكبر من خلال العمليات الحسابية.

أ. حساب مجموع متجهين باستخدام قاعدة جيب التمام

صيغة تحديد مقدار المتجه المحصل:

صيغة تحديد اتجاه المتجه المحصل:

ج = المتجه المحصل

أ = المتجه 1

ب = المتجه 2

cos ∠(A, B) = الزاوية المتكونة من المتجهين A و B

مثال توضيحي 1:

F ₁ = 2 N تشكل زاوية 30 حول المحور x، F ₂ = 3 N تشكل زاوية 60 ^درجة حول المحور x، θ = 30 ^درجة.

مثال توضيحي 2:

F ₁ = 2 N يتطابق مع المحور x، F ₂ = 3 N يشكل زاوية 90 ^درجة حول المحور x، θ = 90 ^درجة.

ب. جمع المتجهات حسب مكوناتها

راجع المتجه F الذي يشكل زاوية معينة حول المحور السيني، كما هو موضح في الشكل أدناه. Fx _و Fy _هما متجهان مركبان للمتجه F.

يتم تحديد مقدار متجه المركبة باستخدام الصيغة التالية:

F _x = F cos θ

F _y = F sin θ

راجع المتجهين F₁ و F₂ والتي تشكل زاوية معينة حول المحور السيني، كما هو موضح في الشكل أدناه. F_1x و F_1y هي مكونات المتجه F₁، لذلك F_2x و F_2y هي مكونات المتجه F₂.

يتم تحديد متجه المكونات باستخدام الصيغة التالية:

F_1x = F.₁ جيب θ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

إضافة متجهات المكونات:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

يتم تحديد المتجه الناتج باستخدام الصيغة التالية:

يتم تحديد اتجاه المتجه الناتج باستخدام الصيغة التالية:

مثال توضيحي 1:

حدد مكونات المتجه F الذي مقداره 20 نيوتن ويشكل زاوية 30 ^درجة حول المحور السيني.

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

مثال توضيحي 2:

تُشكّل القوة F1 = 20 نيوتن زاوية 30 ^درجة حول المحور السيني، بينما تُشكّل _{القوة F2} = 15 نيوتن زاوية 180 درجة حول المحور السيني. حدد مقدار واتجاه المتجه المحصل.

F _1x = (20 نيوتن)(جتا 30 ^درجة ) = 17 نيوتن

F _2x = F ₁ = – 15 نيوتن

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

إضافة متجهات المكونات:

F _x = F _1x – F _2x = 17 نيوتن – 15 نيوتن = 2 نيوتن

F _y = 10 نيوتن

المتجه الناتج:

F₂ ₌ Fₓ₂ ⁺ Fᵧ₂ = 2² ⁺ 10² ₌ ⁴ + 100 ₌ ^10⁴

إ = 10.2 نيوتن

اتجاه المتجه المحصل:

θ = tan −15 = 78.7 ^درجة حول المحور السيني

مثال توضيحي 3:

F₁، F_2, و F₃ هي 20 نيوتن، 30 نيوتن، و40 نيوتن.₁ تشكل زاوية مقدارها 60^o حول المحور السيني، F₂ تشكل زاوية مقدارها 150^o حول المحور السيني، و F₃ تشكل زاوية مقدارها 315^o حول المحور السيني. حدد مقدار واتجاه المتجه المحصل.

F _1x = (20 نيوتن)(جتا 60 ^درجة ) = 10 نيوتن

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 نيوتن)(جتا 30 ^درجة ) = -26 نيوتن

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 نيوتن)(جتا 45 ^درجة ) = 28 نيوتن

F _3y = (40 N)(sin 45 ^o ) = -28 N

إضافة متجه المكونات:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 نيوتن – 26 نيوتن + 28 نيوتن = 12 نيوتن

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

المتجه الناتج:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

إ = 13 نيوتن

اتجاه المتجه المحصل:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^درجة حول المحور السيني