القيمة المتوقعة للتوزيع ذي الحدين
يُعدّ التوزيع ذو الحدين أحد أكثر توزيعات الاحتمالات المنفصلة شيوعًا في الإحصاء والاحتمالات. يصف هذا التوزيع عدد حالات النجاح في سلسلة من التجارب الثنائية المستقلة (تجارب ذات نتيجتين فقط: نجاح أو فشل). لفهم التوزيع ذي الحدين بشكل أفضل، من المهم فهم مفهوم القيمة المتوقعة، الذي يصف متوسط قيمة التجربة عند تكرارها على المدى الطويل. ستستعرض هذه المقالة مفهوم القيمة المتوقعة في سياق التوزيع ذي الحدين.
تعريف التوزيع ذي الحدين
ينشأ التوزيع ذو الحدين في السياقات التي نجري فيها عددًا من التجارب المتطابقة والمستقلة، ولكل تجربة نتيجتان حصريتان متبادلتان، يشار إليهما عادةً باسم "النجاح" و"الفشل". على سبيل المثال، رمي عملة معدنية (صورة أو كتابة)، أو الإجابة على سؤال امتحاني (صحيح أو خطأ)، أو تجربة طبية (شفاء أو عدم شفاء).
يتم تعريف التوزيع ذي الحدين بواسطة معيارين:
– ن، عدد المحاولات.
- p، احتمال النجاح في كل محاولة.
بشكل تقريبي، إذا كان X متغيرًا عشوائيًا يمثل عدد النجاحات في n من المحاولات، فإن X يتبع توزيعًا ثنائي الحدين مع المعلمات n و p، ويرمز له بـ X ~ Binomial(n, p).
دالة الاحتمال
دالة الاحتمال للتوزيع ذي الحدين هي كما يلي:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
أين:
- \( \binom{n}{k} \) هو معامل ذي الحدين، والذي يتم حسابه على النحو التالي: \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
- يمثل \( k \) العدد المطلوب من النجاحات.
- يمثل \( n \) عدد المحاولات.
- \( p \) هو احتمال النجاح في كل محاولة.
- \( (1-p) \) هو احتمال الفشل في كل محاولة.
القيمة المتوقعة
يُعدّ المتوسط الحسابي أو القيمة المتوقعة لتوزيع احتمالي أحد أهم مقاييس النزعة المركزية. بالنسبة للتوزيع ذي الحدين، فإن القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي X يتبع التوزيع ذي الحدين (n, p) هي:
E(X) = np
إثبات القيمة المتوقعة
لفهم سبب كون القيمة المتوقعة للتوزيع ذي الحدين هي np، يمكننا استخدام خاصية الخطية للقيمة المتوقعة ومعرفة كيف تتجمع المتغيرات الثنائية لمساهمتها.
لنُعرّف \( X \) على أنه عدد حالات النجاح في n من التجارب الثنائية. وبشكلٍ أدق، لنفترض أن \( X_i \) متغير عشوائي يُشير إلى نتيجة التجربة رقم i، حيث \( X_i = 1 \) إذا كانت التجربة رقم i ناجحة، و\( X_i = 0 \) إذا كانت فاشلة. عندئذٍ، يُمكننا كتابة \( X \) على النحو التالي:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
بما أن كل \( X_i \) هو متغير ثنائي باحتمالية نجاح p، فإن القيمة المتوقعة لـ \( X_i \) هي:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
يمكننا استخدام خاصية الخطية للقيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة لـ X:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
E(X) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n)
E(X) = p + p + ... + p
E(X) = np
وهذا يدل على أن القيمة المتوقعة للتوزيع ذي الحدين هي np.
مثال توضيحي
لنفترض أننا قمنا برمي قطعة نقدية متوازنة 10 مرات. لنسأل ما هو القيمة المتوقعة لعدد مرات الرمي التي ينتج عنها صورة.
في هذه الحالة:
– ن = 10 (عدد مرات رمي العملة)
– p = 0.5 (احتمالية الحصول على صورة، لأن العملة متوازنة)
إذن، القيمة المتوقعة هي:
E(X) = np = 10 × 0.5 = 5
هذا يعني أنه إذا قمنا برمي عملة معدنية 10 مرات بشكل متكرر على المدى الطويل، فسنحصل في المتوسط على صورة 5 مرات.
التباين والانحراف المعياري
بالإضافة إلى القيمة المتوقعة، من المهم أيضًا فهم التباين والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين.
بالنسبة للتوزيع ذي الحدين، يكون التباين \( \sigma^2 \) والانحراف المعياري \( \sigma \) كما يلي:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
يقيس التباين مدى تباعد البيانات عن القيمة المتوقعة. أما الانحراف المعياري فهو الجذر التربيعي للتباين، ويقيس أيضاً مدى تباعد البيانات، ولكن بنفس وحدات البيانات الأصلية.
استنتاج
يُعدّ التوزيع ذو الحدين مفهومًا أساسيًا في الإحصاء والاحتمالات، ويُستخدم بكثرة في تطبيقات عملية متنوعة، من الأعمال التجارية إلى العلوم الاجتماعية وعلم الأحياء. تُقدّم القيمة المتوقعة للتوزيع ذي الحدين، المحسوبة كـ np، رؤيةً مهمةً حول متوسط عدد النجاحات في سلسلة من التجارب الثنائية. من خلال فهم مفاهيم القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري، يُمكننا اكتساب فهم أوضح لخصائص التوزيع ذي الحدين وكيف يصف بعض الظواهر في الحياة اليومية.
تُعدّ هذه المعرفة بالغة الأهمية، ليس فقط في تحليل البيانات والإحصاء، بل أيضاً في اتخاذ القرارات التي تتطلب تقييم الاحتمالات وعدم اليقين. ففهم القيمة المتوقعة والتوزيع ذي الحدين يُساعدنا على وضع تنبؤات أكثر دقة واتخاذ قرارات أكثر استنارة.
