مثال على مسائل تناقش متجهات الموضع
تُعدّ المتجهات مفهومًا أساسيًا في الرياضيات والفيزياء، فهي تمثل كميات ذات اتجاه ومقدار. وفي تطبيقات متنوعة، تُستخدم المتجهات غالبًا لوصف الموقع والسرعة والقوة والعديد من المعايير الأخرى. ومن بين أنواع المتجهات المختلفة، تلعب متجهات الموقع دورًا حاسمًا في تحديد موقع نقطة ما في الفضاء.
تعريف متجه الموضع
متجه الموضع هو متجه يصف موقع نقطة ما بالنسبة إلى نقطة الأصل في نظام إحداثيات. وعادةً ما يُكتب متجه الموضع في نظام الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
هنا، يُمثل \(\mathbf{r}\) متجه الموضع، و\(x\) و\(y\) و\(z\) هي مركباته على المحاور \(x\) و\(y\) و\(z\) على التوالي، بينما تُمثل \(\mathbf{i}\) و\(\mathbf{j}\) و\(\mathbf{k}\) متجهات وحدة موازية لمحاور الإحداثيات على التوالي. في الفضاء ثنائي الأبعاد، لا توجد المركبة \(z\) عادةً، لذا يصبح متجه الموضع كما يلي:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
تطبيقات متجه الموضع
فعلى سبيل المثال، في الفيزياء، تلعب متجهات الموضع دورًا حاسمًا في وصف حركة الأجسام. ويمكن تمثيل موضع الجسم بالنسبة إلى نقطة الأصل (نقطة مرجعية) بواسطة متجه موضع. علاوة على ذلك، في الهندسة الميكانيكية، غالبًا ما تتضمن حسابات القوى والعزوم استخدام متجهات الموضع.
أمثلة على الأسئلة ومناقشة متجهات الموضع
السؤال 1
لنفترض وجود نقطتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد، النقطة A ذات الإحداثيات (1، 2، 3) والنقطة B ذات الإحداثيات (4، 0، -2). حدد متجهي الموضع للنقطتين A وB. بالإضافة إلى ذلك، احسب المتجه الواصل بين النقطتين A وB.
مناقشة:
متجه الموضع للنقطة أ:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
متجه الموضع للنقطة ب:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
بعد ذلك، لإيجاد المتجه الذي يربط النقطة A بالنقطة B (ويسمى \(\mathbf{AB}\))، نحتاج إلى طرح متجه موضع A من متجه موضع B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
لذا، باستبدال متجهي الموضع أعلاه:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) - (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
إذن، المتجه الذي يربط النقطة A بالنقطة B هو \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
السؤال 2
إذا كانت النقطة P تقع على \((2, 3)\) في المستوى ثنائي الأبعاد، فأوجد طول (معيار) متجه الموضع \(\mathbf{r_P}\).
مناقشة:
متجه موضع النقطة P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
يمكن حساب طول متجه الموضع \(\mathbf{r_P}\) باستخدام صيغة معيار المتجه (أو الطول):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
استبدل قيمتي \(x\) و \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
إذن، طول متجه الموضع \(\mathbf{r_P}\) هو \(\sqrt{13}\).
السؤال 3
لنفترض أن النقطة Q تقع عند (5، -4، 2). أوجد الزاوية بين متجه الموضع r_Q والمحور x.
مناقشة:
متجه موضع النقطة Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
لإيجاد الزاوية بين المتجه \(\mathbf{r_Q}\) والمحور \(x\)، يمكننا استخدام مفهوم الضرب القياسي. أولاً، نحدد الضرب القياسي بين \(\mathbf{r_Q}\) و \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
بما أن \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), و \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), فإن:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
معيار \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
معيار \(\mathbf{i}\) هو 1، لأن \(\mathbf{i}\) هو متجه وحدة.
استخدام صيغة الضرب النقطي لإيجاد الزاوية \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \كوس\ثيتا\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
إذن، الزاوية \(\theta\) بين متجه الموضع \(\mathbf{r_Q}\) والمحور \(x\) هي:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
استنتاج
تلعب متجهات الموضع دورًا محوريًا في العلوم والهندسة، لا سيما في تحديد مواقع الأجسام في الفضاء الإحداثي. توضح الأمثلة السابقة كيفية حساب متجهات الموضع، وأطوالها، والزوايا بينها وبين محاور الإحداثيات. يُعدّ فهم هذه المفاهيم الأساسية بالغ الأهمية لحلّ مختلف المسائل المتعلقة بالفضاء والإحداثيات في الرياضيات والفيزياء.
