أمثلة على أسئلة تناقش المتجهات ثنائية الأبعاد في نظام إحداثيات

أسئلة نموذجية تناقش المتجهات ثنائية الأبعاد في نظام إحداثيات

المتجه كمية لها مقدار واتجاه. تُستخدم المتجهات بكثرة في مختلف فروع الرياضيات والفيزياء لتمثيل ظواهر متنوعة. في هذه المقالة، سنناقش أمثلة على المتجهات ثنائية الأبعاد في نظام إحداثيات.

المفاهيم الأساسية للمتجهات في أنظمة الإحداثيات
يمكن تمثيل متجه في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد بالصيغة \(\vec{A} = (a_1, a_2)\)، حيث يمثل \(a_1\) المركبة السينية للمتجه، بينما يمثل \(a_2\) المركبة الصادية. ويمكن تحليل المتجه إلى مركبتين، هما المركبة السينية والمركبة الصادية.

جمع وطرح المتجهات
مجموع متجهين \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) و \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) هو:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1، a_2 + b_2)
\]
بينما يمثل التخفيض ما يلي:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1، a_2 – b_2)
\]

الضرب القياسي
إذا كان \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) و \(k\) كمية قياسية، فإن \(k\vec{A}\) هو:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]

مقدار المتجه
مقدار أو طول المتجه \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) هو:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

متجه الوحدة
متجه الوحدة هو متجه طوله وحدة واحدة. متجه الوحدة للمصفوفة \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) هو:
\[
\hat{A} ​​​​= \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]

Contoh Soal dan Pembahasan

السؤال الثاني: جمع وطرح المتجهات
لدينا متجهان كما يلي: \(\vec{A} = (3, 4)\) و \(\vec{B} = (1, 2)\). أوجد حاصل ضرب \(\vec{A} + \vec{B}\) و \(\vec{A} – \vec{B}\).

مناقشة:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1، 4 + 2) = (4، 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1، 4 – 2) = (2، 2)
\]

السؤال الثاني: الضرب القياسي
بفرض أن المتجه \(\vec{C} = (2, -3)\)، احسب \(3\vec{C}\) و \(-2\vec{C}\).

مناقشة:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]

السؤال 3: مقدار المتجه
احسب مقدار المتجه \(\vec{D} = (5, 12)\).

مناقشة:
\[
|\vec{د}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]

السؤال 4: متجهات الوحدة
أوجد متجه الوحدة للمتجه \(\vec{E} = (4, 3)\).

مناقشة:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]

السؤال 5: موضع ومسافة المتجهات
نقطتان في المستوى الإحداثي ثنائي الأبعاد هما P(2, 3) و Q(5, 7). حدد متجه الموضع من النقطة P إلى النقطة Q والمسافة بينهما.

مناقشة:
متجه الموضع من النقطة P إلى النقطة Q هو:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2، 7 – 3) = (3، 4)
\]
المسافة بين النقطتين P و Q هي:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

السؤال 6: نتيجة الضرب النقطي
إذا كان \(\vec{F} = (-3, 4)\) و \(\vec{G} = (2, 1)\)، فاحسب حاصل الضرب النقطي لـ \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).

مناقشة:
حاصل الضرب النقطي لمتجهين هو:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]

السؤال 7: الزاوية بين متجهين
إذا كان \(\vec{H} = (7, -4)\) و \(\vec{I} = (3, 0)\)، فحدد الزاوية بين المتجهين.

مناقشة:
لتحديد الزاوية بين متجهين، نستخدم الصيغة التالية:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
أولاً، احسب حاصل الضرب النقطي \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
ثم احسب مقداري \(\vec{H}\) و \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
أدخل هذه القيم في الصيغة:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
إذن، \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).

السؤال 8: الإسقاط المتجهي
بالنسبة للمتجهين \(\vec{J} = (2, 1)\) و \(\vec{K} = (-1, 3)\)، احسب إسقاط \(\vec{J}\) على \(\vec{K}\).

مناقشة:
إسقاط \(\vec{J}\) على \(\vec{K}\) هو:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
أولاً، احسب حاصل الضرب النقطي \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
ثم، مقدار \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
لهذا السبب،:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
أدخل في الصيغة:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]

هذه أمثلة على مسائل ومناقشات متعلقة بالمتجهات ثنائية الأبعاد في نظام إحداثيات. يُعدّ الفهم الجيد للمتجهات مفيدًا في العديد من التطبيقات في الرياضيات والفيزياء والهندسة. كما أن التدرب على أمثلة متنوعة يُعمّق فهمك لهذا المفهوم، مما يسمح بتطبيقه بفعالية في مختلف المواقف.