أسئلة نموذجية تناقش جمع المتجهات حسب المركبات
يُعدّ جمع المتجهات إجراءً أساسيًا في الفيزياء والرياضيات يُستخدم لإيجاد محصلة متجهين أو أكثر. ويُعتبر أسلوب تحليل مركبات المتجهات طريقةً مفيدةً للغاية، لا سيما عند التعامل مع المتجهات في بُعدين أو ثلاثة أبعاد. ستشرح هذه المقالة مفهوم جمع المتجهات بمركباتها، وستُقدّم أمثلةً وحلولًا لها.
مفهوم جمع المتجهات المركبة
يمكن تحليل كل متجه في الفضاء ثنائي الأبعاد (2D) إلى مركبتين: مركبة أفقية (x) ومركبة رأسية (y). أما في الفضاء ثلاثي الأبعاد (3D)، فتتضمن المتجهات مركبة إضافية، وهي مركبة العمق (z).
لنفترض أن لدينا متجهين A و B. يمكن التعبير عن مركبات هذين المتجهين على النحو التالي:
– يحتوي المتجه A على المكونات \(A_x\) و \(A_y\) في بعدين (أو أيضًا \(A_z\) في ثلاثة أبعاد).
– يحتوي المتجه B على المكونات \(B_x\) و \(B_y\) في بعدين (أو أيضًا \(B_z\) في ثلاثة أبعاد).
ينتج عن جمع هذين المتجهين متجه محصل R يحتوي على المكونات التالية:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
بالنسبة للمتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون المكون z كما يلي:
\[ R_z = A_z + B_z \]
بعد حساب كل مركبة من مركبات المتجه المحصل، يمكننا إيجاد معيار (مقدار) واتجاه المتجه المحصل باستخدام الصيغة التالية:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (للبعدين)
أو للثلاثي الأبعاد:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
ويمكن تحديد اتجاه المتجه الناتج من خلال الزاوية مع محاور الإحداثيات.
Contoh Soal dan Pembahasan
السؤال 1
بفرض وجود متجهين في مستوى ثنائي الأبعاد:
– تقع النقطة A على بعد 5 وحدات إلى الشرق.
– تقع النقطة B على بعد 3 وحدات إلى الشمال.
حدد المتجه الناتج R.
مناقشة
أولاً، نقوم بتحويل المتجه إلى مكوناته الخاصة.
– المتجه A : \(A = (5, 0)\) لأنه يحتوي فقط على مركبة x.
– المتجه B : \(B = (0, 3)\) لأنه يحتوي فقط على مركبة y.
هذا هو مجموع المكونات:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
إذن، المتجه الناتج R هو:
R = (5, 3)
لحساب طول (معيار) المتجه R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
يمكن حساب اتجاه المتجه R باستخدام الزاوية θ بالنسبة للمحور x:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
وبالتالي، فإن المتجه الناتج R يبلغ طوله حوالي 5.83 وحدة ويشكل زاوية 30.96 درجة مع المحور x.
السؤال 2
بفرض وجود متجهين في ثلاثة أبعاد:
– A هي \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B هي \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
حدد المتجه الناتج R.
مناقشة
أولاً، نحدد مكونات كل متجه:
– المتجه A : \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– المتجه B : \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
هذا هو مجموع المكونات:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
إذن، المتجه الناتج R هو:
R = (4, 6, 3)
لحساب طول (معيار) المتجه R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
يمكن حساب اتجاه المتجه R بالنسبة للمحاور x و y و z باستخدام جيب تمام الموجه:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \approx 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \approx 67.64^\circ \]
وبالتالي، فإن المتجه الناتج R يبلغ طوله حوالي 7.81 وحدة، واتجاهاته بالنسبة للمحاور x و y و z هي 59.50 درجة و 39.50 درجة و 67.64 درجة.
السؤال 3
بفرض وجود متجهين:
– تبلغ قيمة P 4 وحدات وتشكل زاوية 45 درجة مع المحور السيني الموجب.
– Q لها مقدار 6 وحدات وتشكل زاوية 120 درجة مع المحور السيني الموجب.
حدد المتجه الناتج R.
مناقشة
أولاً، نقوم بتقسيم المتجه إلى مركبتيه x و y:
– المتجه P : \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– المتجه Q : \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
هذا هو مجموع المكونات:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
إذن، يكون المتجه الناتج R هو:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
لحساب طول (معيار) المتجه R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \approx 8.03 \]
اتجاه المتجه R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
ومع ذلك، يتم قياس هذه الزاوية حول المحور السيني السالب، لذا فإن الزاوية الفعلية في سياق المسألة هي:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \approx 91.01^\circ \]
وبالتالي، فإن المتجه الناتج R يبلغ طوله حوالي 8.03 وحدة ويشكل زاوية 91.01 درجة مع المحور السيني الموجب.
تناولت هذه المقالة جمع المتجهات عنصرًا عنصرًا، وقدمت عدة أمثلة وحلولها. تُعدّ طريقة جمع المتجهات عنصرًا عنصرًا مفيدة جدًا في تبسيط العمليات الحسابية وتوفير أسلوب منهجي لحل مسائل المتجهات في البُعد الرياضي للفضاء.
