أمثلة على الأسئلة ومناقشة الدوال المتزايدة، والدوال المتناقصة، والدوال الثابتة
تُعدّ الدوال الرياضية موضوعًا متعمقًا نسبيًا، وتزخر بخصائص متنوعة، منها كيفية تحليلها من حيث تزايدها أو تناقصها أو ثباتها. يُعدّ تحديد ما إذا كانت الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة على فترة معينة أمرًا بالغ الأهمية في تطبيقات الرياضيات المختلفة، بما في ذلك الاقتصاد والفيزياء والهندسة. ستتناول هذه المقالة أمثلةً ومناقشةً لها فيما يتعلق بالدوال المتزايدة والمتناقصة والثابتة.
ما هي الدوال المتزايدة، والدوال المتناقصة، والدوال الثابتة؟
1. الدالة المتزايدة: يُقال إن الدالة f(x) متزايدة على الفترة I إذا كان لكل x₁ و x₂ في الفترة I حيث x₁ < x₂، يكون f(x₁) ≤ f(x₂). 2. الدالة المتناقصة: على العكس، يُقال إن الدالة f(x) متناقصة على الفترة I إذا كان لكل x₁ و x₂ في الفترة I حيث x₁ < x₂، يكون f(x₁) ≥ f(x₂). 3. الدالة الثابتة: يقال إن الدالة \( f(x) \) ثابتة على فترة \( I \) إذا كان لكل \( x \) في \( I \)، فإن للدالة نفس القيمة، أي \( f(x) = c \) لكل \( x \) في \( I \)، حيث c ثابت.
مثال 1: تحديد فترات تزايد الدوال. بفرض الدالة f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 5، حدد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة. شرح: لتحديد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، نحتاج إلى إيجاد المشتقة الأولى للدالة ثم تحليل إشارة المشتقة. 1. الخطوة 1: إيجاد المشتقة الأولى: f'(x) = d/dx (2x³ - 3x² - 12x + 5) f'(x) = 6x² - 6x - 12 2. الخطوة 2: تحديد النقطة الحرجة: النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى صفرًا أو غير معرفة. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] بقسمة المعادلة كاملةً على 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] بتحليل هذه المعادلة التربيعية: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] إذن، النقاط الحرجة هي \( x = 2 \) و \( x = -1 \). 3. الخطوة 3: تحديد إشارة المشتقة الأولى على الفترة المتكونة من النقاط الحرجة: سننشئ جدول إشارات لـ \( f'(x) \) على الفترات \( (-\infty, -1) \)، \( (-1, 2) \)، و \( (2, \infty) \). - بالنسبة لـ \( x \in (-\infty, -1) \): خذ \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] بما أن \( f'(-2) > 0 \)، فإن \( f(x) \) متزايدة على الفترة \( (-\infty, -1) \). – بالنسبة لـ \( x \in (-1, 2) \): خذ \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
بما أن \( f'(0) < 0 \)، فإن \( f(x) \) متناقصة على الفترة \( (-1, 2) \). - بالنسبة لـ \( x \in (2, \infty) \): خذ \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] بما أن \( f'(3) > 0 \)، فإن \( f(x) \) متزايدة على الفترة \( (2, \infty) \).
إذن، الدالة \( f(x) \) متزايدة على الفترة \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
مثال توضيحي ٢: تحديد فترة الدالة المتناقصة
بفرض أن الدالة \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \)، حدد الفترات التي تتناقص فيها الدالة!
مناقشة:
1. الخطوة 1: إيجاد المشتقة الأولى:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. الخطوة الثانية: تحديد النقطة الحرجة:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
إذن، النقاط الحرجة هي \( x = 0 \) و \( x = \frac{3}{2} \).
3. الخطوة 3: تحديد إشارة المشتقة الأولى على الفترة:
– بالنسبة لـ \( x \in (-\infty, 0) \): خذ \( x = -1 \)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
بما أن \( g'(-1) < 0 \), فإن \( g(x) \) متناقصة على الفترة \( (-\infty, 0) \).
إذن، الدالة \( g(x) \) تتناقص على الفترة \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
مثال السؤال 3: تحديد فترة دالة في حالة سكون
بفرض أن الدالة \( h(x) = 7 \)، حدد الفترات التي تكون فيها الدالة ثابتة!
مناقشة:
الدالة الثابتة مثل \( h(x) = 7 \) لها مشتقة أولى تساوي صفرًا لجميع قيم \( x \):
\[ h'(x) = 0 \]
بما أن المشتقة الأولى تساوي صفرًا دائمًا، فإن الدالة ثابتة على المجال بأكمله، لذلك يمكننا القول أن الدالة \( h(x) = 7 \) ثابتة على جميع الأعداد الحقيقية، والتي في تدوين الفترة تكون \( (-\infty, \infty) \).
استنتاج
يُعدّ فهم فترات التزايد والتناقص والاستقرار لدالة ما جزءًا أساسيًا من التحليل الوظيفي. وقد تناولنا، من خلال الأمثلة السابقة، المفاهيم والخطوات الأساسية اللازمة لإيجاد هذه الفترات. وتُعدّ هذه المعرفة بالغة الأهمية في مختلف التطبيقات العملية والنظرية للرياضيات.
