أمثلة على أسئلة تناقش الدوال التربيعية

أمثلة على أسئلة تناقش الدوال التربيعية

تُعدّ الدوال التربيعية موضوعًا هامًا في الرياضيات، وخاصةً في المرحلة الثانوية. تأخذ هذه الدالة الشكل العام \( f(x) = ax^2 + bx + c \)، حيث \(a\) و\(b\) و\(c\) ثوابت، و\(a \neq 0\). ستتناول هذه المقالة عدة أمثلة تطبيقية متعلقة بالدوال التربيعية، مع شروح تفصيلية لمساعدة الطلاب على فهم هذا المفهوم بشكل أفضل.

1. تحديد جذور الدالة التربيعية

السؤال الأول: أوجد جذور الدالة التربيعية التالية:

\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]

مناقشة:

لإيجاد جذور الدالة التربيعية، يمكننا استخدام الصيغة التربيعية، وهي:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

في الدالة التربيعية \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \), يمكننا تحديد قيم \(a\), \(b\), و \(c\):

– \( a = 2 \)
– \( b = -3 \)
– (ج = -5)

الخطوات كالتالي:

1. أوجد المميز (Δ):

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \Delta = 9 + 40 \]
\[ \Delta = 49 \]

2. استخدم القانون العام لإيجاد الجذور:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]

إذن نحصل على حلين:

\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

إذن جذور الدالة هي \( x = 2.5 \) و \( x = -1 \).

2. تحديد رؤوس الدالة التربيعية

السؤال الثاني: حدد رأس الدالة التربيعية التالية:

\[ g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]

مناقشة:

يمكن تحديد رأس الدالة التربيعية باستخدام الصيغة التالية:

\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]

في الدالة التربيعية \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \)، يمكننا تحديد قيم \(a\)، \(b\)، و\(c\):

– \( a = -1 \)
– \( b = 4 \)
– (ج = -3)

الخطوات كالتالي:

1. أوجد قيمة \( x \) للرأس:

\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{vertex}} = 2 \]

2. أوجد قيمة \( y \) عن طريق استبدال \( x_{\text{vertex}} \) في الدالة:

\[ y_{\text{vertex}} = g(2) \]
\[ y_{\text{vertex}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = 1 \]

إذن رأس الدالة هو \( (2, 1) \).

3. رسم بياني للدالة التربيعية

السؤال الثالث: ارسم الرسم البياني للدالة التربيعية التالية:

\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]

مناقشة:

قبل رسم مخطط دالة تربيعية، نحتاج إلى معرفة عدة نقاط مهمة، مثل الجذور والرأس واتجاه القطع المكافئ.

تحديد الجذور

يمكننا استخدام الصيغة التربيعية لإيجاد جذور المعادلة \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \):

\[أ = 1 \]
[ b = -2 \]
[ ج = -3 \]

1. احسب المميز:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \Delta = 4 + 12 \]
\[ \Delta = 16 \]

2. احسب الجذور:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

إذن نحصل على حلين:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

تحديد نقطة الذروة

3. استخدم صيغة الرأس:
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vertex}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{vertex}} = 1 \]

4. احسب قيمة \( y \):
\[ y_{\text{vertex}} = h(1) \]
\[ y_{\text{vertex}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 \]

إذن رأس القطع المكافئ هو \( (1, -4) \).

رسم الرسوم البيانية

– الجذور موجودة عند \( x = 3 \) و \( x = -1 \).
- رأس القطع المكافئ يقع عند \( (1, -4) \).
– بما أن \( a > 0 \)، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى.

حدد هذه النقاط المهمة على الرسم البياني وارسم قطعًا مكافئًا يمر بها.

من خلال فهم جذور القطع المكافئ ورأسه واتجاهه، يمكننا رسم رسم بياني أكثر دقة للدالة التربيعية.

استنتاج

الدالة التربيعية مفهوم أساسي في الرياضيات وله تطبيقات واسعة. يساعدنا فهم الدوال التربيعية على تعميق فهمنا لمفاهيم أخرى في الرياضيات والعلوم التطبيقية. ومن خلال التدرب على الأمثلة وفهم خطوات حلها، نأمل أن يتعمق فهمنا للدوال التربيعية ويصبح أكثر قابلية للتطبيق.