أسئلة نموذجية ومناقشة حول التوزيع ذي الحدين
يُعدّ التوزيع ذو الحدين أحد أكثر توزيعات الاحتمالات المنفصلة شيوعًا. وهو مفيد لنمذجة عدد النجاحات في عدد من التجارب المتطابقة والمستقلة، حيث تُسفر كل تجربة إما عن نجاح أو فشل. في هذه المقالة، سنتعمق في التوزيع ذي الحدين من خلال تقديم العديد من الأمثلة ومناقشة مفصلة.
مقدمة في التوزيع ذي الحدين
الخصائص الرئيسية للتوزيع ذي الحدين:
1. ن: عدد المحاولات أو التكرارات.
2. p: احتمال النجاح في كل محاولة.
3. q = 1-p : احتمال الفشل في كل محاولة.
دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين هي:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
أين:
- \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): متغير عشوائي يمثل عدد النجاحات.
- (k): عدد النجاحات المطلوبة.
Contoh Soal dan Pembahasan
لنبدأ ببعض الأمثلة لفهم مفهوم التوزيع ذي الحدين بمزيد من التفصيل.
مثال 1: الاختيار من بين مجموعة من الطلاب
على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا مجموعة من 10 طلاب، واحتمالية اختيار كل طالب للمشاركة في مسابقة هي 0,3. نريد أن نعرف احتمالية اختيار 4 طلاب بالضبط.
الخطوة 1: تحديد معلمات التوزيع ذي الحدين.
– \( n = 10 \)
- (p = 0.3)
الخطوة 2: استخدم التوزيع ذي الحدين لحساب احتمال \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
حساب \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
الآن احسب \( (0.3)^4 \) و \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
وهكذا،
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
إذن، فإن احتمال اختيار 4 طلاب بالضبط هو حوالي 0.20012 أو 20.012%.
مثال 2: احتمال أقل من أو يساوي 2
والآن، على سبيل المثال، يُطلب منا معرفة احتمال اختيار طالبين أو أقل.
الخطوة 1: علينا حساب \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), و \( P(X = 2) \).
– لـ \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– لـ \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– لـ \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
الخطوة الثانية: جمع الاحتمالات.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
لذا فإن احتمال اختيار طالبين أو أقل هو حوالي 0.7740671 أو 77.41٪.
مثال 3: احتمال الحصول على 8 على الأقل
إذا تم إجراء تجربة 12 مرة، وكان احتمال النجاح في كل محاولة هو 0.5، فما هو احتمال حدوث 8 نجاحات على الأقل؟
الخطوة 1: اضبط معلمات ذات الحدين: \( n = 12, p = 0.5 \).
الخطوة 2: أوجد احتمال \( X \geq 8 \).
يتطلب هذا حساب عدة احتمالات فردية وجمعها:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
عد واحداً تلو الآخر:
– لـ \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– لـ \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– لـ \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– لـ \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– لـ \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
الخطوة 3: اجمع كل الاحتمالات.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
لذا فإن احتمال حدوث 8 نجاحات على الأقل في 12 محاولة هو حوالي 0.1938477 أو 19.38٪.
استنتاج
يُعدّ التوزيع ذو الحدين مفهومًا أساسيًا في الإحصاء، وله أهمية بالغة في العديد من التطبيقات العملية. من خلال فهم كيفية حساب الاحتمالات لمختلف حالات التوزيع ذي الحدين، كما هو موضح في الأمثلة السابقة، يُمكننا تطبيق هذا المفهوم في مواقف واقعية. كما يُعزز هذا التمرين فهمنا لكيفية عمل هياكل الاحتمالات في سياق واضح ومنظم.
