የሃርሞኒክ ንዝረት ቀመሮች እና ምሳሌዎች

የሃርሞኒክ ንዝረት ቀመሮች እና ምሳሌዎች

የሃርሞኒክ ንዝረት በፊዚክስ ውስጥ ቁልፍ ርዕስ ሲሆን በተደጋጋሚ ስለ ወቅታዊ እንቅስቃሴ፣ ሞገዶች እና የምህንድስና አፕሊኬሽኖች ውይይት ይታያል። በምንጮች፣ በፔንዱለም (ለትንሽ ማዕዘኖች) እንቅስቃሴ እና በቁስ ውስጥ ባሉ ሞለኪውሎች ንዝረት ውስጥ እንኳን ልናገኘው እንችላለን። እንቅስቃሴው መደበኛ ንድፍ ስለሚከተል እና በሳይን ወይም ኮሳይን ተግባራት ሊቀረጽ ስለሚችል "ሃርሞኒክ" ይባላል። ይህ ጽሑፍ አጭር ፍቺ፣ ቁልፍ ቀመሮችን እና የሃርሞኒክ ንዝረት ጽንሰ-ሀሳብን ለመረዳት የሚረዱ መፍትሄዎችን በመጠቀም ችግሮችን ያብራራል።

1. የሃርሞኒክ ንዝረቶችን መረዳት

ቀላል የሃርሞኒክ ንዝረት (SHM) የአንድ ነገር ከእኩልታ ነጥብ አልፎ የሚንቀሳቀስ የኋላ እና ወደፊት እንቅስቃሴ ሲሆን መጠኑ ከመፈናቀሉ ጋር ተመጣጣኝ የሆነ እና አቅጣጫው ሁልጊዜ ወደ ሚዛናዊ ነጥብ የሚሄድ የመልሶ ማግኛ ኃይል አለው። በሂሳብ፣ ባህሪያቱ እንደሚከተለው ሊጻፉ ይችላሉ

ኤፍ = −kx

የመቀነስ ምልክቱ የሚያመለክተው የኃይል አቅጣጫ ከማፈንገጡ አቅጣጫ ተቃራኒ መሆኑን ነው። ዕቃው ወደ ቀኝ ከተጎተተ (አዎንታዊ x)፣ የመልሶ ማግኛ ኃይሉ ወደ ግራ (አሉታዊ) እና በተቃራኒው ነው።

ብዙውን ጊዜ የጂኤችኤስ ምሳሌዎች ተብለው የሚጠቀሱት ሁለቱ ስርዓቶች የሚከተሉት ናቸው፡

1. የጸደይ-ጅምላ ስርዓት (በጸደይ መጨረሻ ላይ ያለው ክብደት)።
2. ቀላል ፔንዱለም (ለትንሽ ማዕዘኖች፣ አብዛኛውን ጊዜ < 15°)።

2. በሃርሞኒክ ንዝረቶች ውስጥ አስፈላጊ መጠኖች

በጂኤችኤስ ውስጥ ሁልጊዜ የሚታዩ አንዳንድ መጠኖች፡

– መዛባት (x): የነገሩ ርቀት ከእኩልታ ነጥብ (m)።
– ስፋት (A): ከፍተኛ መዛባት (ሜ)።
– ነጥብ (ቲ): ለአንድ ሙሉ ንዝረት (ዎች) የሚያስፈልግ ጊዜ።
– ድግግሞሽ (f): በሰከንድ የንዝረት ብዛት (Hz)።
– የማዕዘን ፍጥነት / የማዕዘን ድግግሞሽ (ω): በሳይን/ኮሳይን እኩልታ (rad/s) ውስጥ አስፈላጊ መለኪያ።
– ደረጃ (φ): የእንቅስቃሴውን የመጀመሪያ ሁኔታዎች ይወስናል።

በፔርሜሽን እና በድግግሞሽ መካከል ያለው መሠረታዊ ግንኙነት፡

ረ = 1/ቲ

እና የω ከ T እና f ጋር ያለው ግንኙነት፡

ω = 2πf = 2π/T

3. የሃርሞኒክ ንዝረት እኩልታ

የጊዜ ተግባርን በተመለከተ የልዩነቱ አጠቃላይ ቅርፅ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል፡

x(t) = A sin(ωt + φ)
ወይም
x(t) = A cos(ωt + φ)

የኃጢአት/ኮስ ምርጫ እኩል ትክክል ነው፣ እንደ መጀመሪያዎቹ ሁኔታዎች (ለምሳሌ t = 0፣ ቦታው በአምፒውቲሽኑ ወይም በተመጣጣኝነት ነጥብ ላይ ነው)።

ፍጥነት እና ማፋጠን

ፍጥነት የመፈናቀል የመጀመሪያው ተዋጽኦ ነው፡

v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (ከ x = A sin ከሆነ)
ወይም ደግሞ በመጀመሪያው ቅጽ መሠረት አሉታዊ እሴት ሊኖረው ይችላል።

ማፋጠን ሁለተኛው ተዋጽኦ ነው፡

a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)

x(t) = A sin(ωt + φ) ስለሆነ፣ ከዚያ፡

a(t) = −ω² x(t)

ይህ የጂኤችኤስ ቁልፍ ባህሪ ነው፡ ማፋጠን ከማፈናቀል ጋር ተመጣጣኝ እና በአቅጣጫ ተቃራኒ ነው።

ከፍተኛ ፍጥነት እና ከፍተኛ ፍጥነት

– v_max = Aω
– a_max = Aω²

ከፍተኛው ፍጥነት የሚከሰተው እቃው የእኩልነት ነጥቡን ሲያልፍ ነው (x = 0)። ከፍተኛው ፍጥነት የሚከሰተው በአምፒውቲሽኑ (x = ±A) ነው።

4. በስፕሪንግስ እና ፔንዱለምስ ውስጥ የንዝረት ጊዜ

ሀ. ጸደይ-ቅዳሴ

ለጸደይ ቋሚ k እና ክብደት m ተስማሚ የሆነ ጸደይ፦

ቲ = 2π √(ሜ/ኪ)
ω = √(ኪ/ሜ)

ይህ ማለት የጅምላ መጠኑ በጨመረ ቁጥር የወቅቱ መጠን ይጨምራል (ቀርፋፋ)። ትልቁ k (ጠንካራ ጸደይ)፣ የወቅቱ መጠን ይቀንሳል (ፈጣን)።

ለ. ቀላል ፔንዱለም (ትንሽ አንግል)

ለክር ርዝመት L እና የስበት ፍጥነት g ላለው ፔንዱለም፦

ቲ = 2π √(ሊትር/ግ)
ω = √(ግ/ሊ)

የሚገርመው ነገር፣ በትንሽ አንግል አቀራረብ፣ ወቅቱ በፔንዱለም ክብደት ላይ የተመካ አይደለም፣ ርዝመቱ እና ስበት ላይ ብቻ ነው።

5. በሃርሞኒክ ንዝረቶች ውስጥ ያለው ኃይል

በጂኤችኤስ (GHS) ውስጥ፣ ጠቅላላ ኃይል ቋሚ ሆኖ ይቆያል (ምንም ግጭት ከሌለ)፡

- የጸደይ እምቅ ኃይል;
ክፍል = ½ ኪ.ሜ²
- ኪነቲክ ኢነርጂ;
ኤክ = ½ mv²
- ጠቅላላ የሜካኒካል ኃይል:
ኢ = ኤክ + ኤፕ = ½ ኪ.አ²

x = ±A፣ v = 0 ሲደመር፣ ጉልበቱ ሙሉ በሙሉ እምቅ አቅም ነው። x = 0፣ Ep = 0 እና ጉልበቱ ሙሉ በሙሉ ኪነቲክ ነው።

6. የምሳሌ ጥያቄዎች እና ውይይቶች

ምሳሌ 1፡ የጸደይ ወቅትን መወሰን

0,5 ኪ.ግ ክብደት ያለው ቋሚ k = 200 N/m ባለው ስፕሪንግ ላይ ይሰቀላል። የንዝረት ጊዜውን ይወስኑ!

የተሰጠው፡ m = 0,5 ኪ.ግ፣ k = 200 N/m
ተጠይቋል፡ ቲ

መልስ፡

ቲ = 2π √(ሜ/ኪ)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π s
≈ 0,314 ሰከንድ

ስለዚህ የጸደይ ወቅት የንዝረት ጊዜ 0,314 ሰከንድ ያህል ነው።

-

ምሳሌ 2፡ ድግግሞሽን እና ωን መወሰን

ከጥያቄ 1፣ ድግግሞሽ (f) እና ω! ይወስኑ!

መልስ፡

ረ = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz

ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 ራድ/ሰ
(ወይም በቀጥታ ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 ራድ/ሰ)

ስለዚህ፣ ድግግሞሹ 3,18 Hz እና ω = 20 rad/s ነው።

-

ምሳሌ 3፡ የእኩልታ ልዩነት

አንድ ነገር በ0,10 ሜትር ስፋት እና ω = 5 ራድ/ሰከንድ በሚስማማ መልኩ ይንቀጠቀጣል። በ t = 0፣ እቃው በሚዛን ደረጃ ላይ የሚገኝ እና በአዎንታዊ አቅጣጫ የሚንቀሳቀስ ነው። የመፈናቀያ እኩልታን ይወስኑ!

የተሰጠው፡ A = 0,10 ሜትር፣ ω = 5 ራድ/ሰ
የመጀመሪያ ሁኔታዎች፡ t = 0 → x = 0 እና የመጀመሪያ v አዎንታዊ ነው።

x(0) = 0 ከሆነ፣ ተገቢው ቅጽ ሳይን ነው፡
x(t) = A sin(ωt)

v(t) = Aω cos(ωt) ስለሆነ፣ ከዚያ v(0) = Aω cos(0) = ፖዘቲቭ Aω፣ በዚሁ መሰረት።

ስለዚህ፦

x(t) = 0,10 ሲን(5t) (ሜትር)

-

ምሳሌ 4፡ ከፍተኛ ፍጥነት እና ከፍተኛ ፍጥነት

ከምሳሌ 3፣ v_max እና a_maxን ይወስኑ።

መልስ፡

v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s

a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s²

ስለዚህ፣ v_max = 0,50 ሜ/ሰ እና a_max = 2,5 ሜ/ሰ²።

-

ምሳሌ 5፡ በጸደይ ወቅት የሚኖረው ኃይል

k = 100 N/m ያለው ስፕሪንግ በA = 0,20 ሜትር ስፋት ይርገበገባል። አጠቃላይ የሜካኒካል ኃይሉን አስሉ !

መልስ፡

ኢ = ½ ኪ.አ²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 x 0,04
= 2 ጄ

የንዝረቱ አጠቃላይ ሜካኒካል ኃይል 2 ጁሎች ነው።

-

ምሳሌ 6፡ የፔንዱለም ጊዜ

ቀላል ፔንዱለም 1 ሜትር ርዝመት አለው። g = 10 m/s² ከሆነ፣ ወቅቱን ይወስኑ።

መልስ፡

ቲ = 2π √(ሊትር/ግ)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 ሰከንድ

ስለዚህ የፔንዱለም ጊዜ 2,0 ሰከንድ ያህል ነው።

7. መደምደሚያ

ቀላል የሃርሞኒክ ኦሲሌሽን በፊዚክስ ውስጥ መሠረታዊ የሆነ ወቅታዊ እንቅስቃሴ ነው። ለመረዳት ቁልፉ በመልሶ ማገገሚያ ኃይል እና በመፈናቀሉ (F = −kx) እና ሳይን/ኮሳይን ተግባርን በሚከተለው የሂሳብ ሞዴሉ መካከል ባለው ግንኙነት ላይ ነው። የጸደይ እና የፔንዱለም ጊዜ ቀመሮችን፣ የመፈናቀያ-ፍጥነት-ፍጥነት እኩልታዎችን እና የኃይል ጽንሰ-ሀሳብን በመረዳት፣ ከንዝረት እና ሞገዶች ጋር የተያያዙ ችግሮችን መፍታት ቀላል ይሆንልዎታል።

ከፈለጉ፣ ተጨማሪ የልምምድ ጥያቄዎችን (መጀመሪያ ውይይት ሳላደርግ) ማከል ወይም ለፈተናው የተዘጋጁትን ቀመሮች ማጠቃለያ ስሪት መፍጠር እችላለሁ።