የቡድን ውሂብ ልዩነትን እና መደበኛ መዛባትን የሚመለከቱ የምሳሌ ጥያቄዎች
ፔንዳሁሉአን
በስታቲስቲክስ ውስጥ፣ ልዩነት እና መደበኛ መዛባት ከአማካይ የውሂብ ስርጭትን ወይም ስርጭትን ለመረዳት ወሳኝ የሆኑ ሁለት የስታቲስቲክስ መለኪያዎች ናቸው። ልዩነት መረጃው ከአማካይ ምን ያህል እንደተሰራጨ ይለካል፣ መደበኛ መዛባት ደግሞ የልዩነቱ ካሬ ሥር ሲሆን ከዋናው መረጃ ጋር በተመሳሳይ አሃዶች ውስጥ የሚገኝ መለኪያ ይሰጣል።
ፍቺ
– ልዩነት (σ² ወይም S²): በእያንዳንዱ የውሂብ እሴት እና በውሂቡ አማካይ መካከል ያለው ልዩነት ካሬዎች አማካይ ነው።
– መደበኛ መዛባት (σ ወይም S): የልዩነቱ ካሬ ሥር ነው።
የቡድን ውሂብ ልዩነት እና መደበኛ መዛባት ቀመር
ለቡድን ውሂብ፣ በእያንዳንዱ ክፍል ውስጥ ያለውን የውሂብ ድግግሞሽ እንጠቀማለን። ቀመሩ ይኸውና፡
ቫሪያን
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
መደበኛ መዛባት
\[ S = \sqrt{S^2} \]
የት፡
– \( f_i \) = የእያንዳንዱ ክፍል ድግግሞሽ።
– \( x_i \) = የእያንዳንዱ ክፍል መካከለኛ ነጥብ።
– \( \bar{x} \) = የቡድን ውሂብ አማካይ።
– \(N \) = የውሂብ ጠቅላላ ብዛት።
የናሙና ጥያቄዎች እና ውይይቶች
በክፍል የተከፋፈሉ የሰዎች ቡድን የክብደት መረጃ እንዳለን እናስብ።
| የክብደት ክፍተት (ኪ.ግ) | ድግግሞሽ (ረ) |
|—————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
የመጀመሪያው እርምጃ የእያንዳንዱን ክፍል መካከለኛ ነጥብ (\( x_i \)) መወሰን እና ከዚያም አማካይ (\( \bar{x} \)) ማስላት ነው።
1. የመሃል ነጥብን ማስላት ( \( x_i \) )
\[ \text{Midpoint} = \frac{\text{Lower Limit} + \text{Upper Limit}}{2} \]
| የክብደት ክፍተት (ኪ.ግ) | ድግግሞሽ (f) | መካከለኛ ነጥብ (\( x_i \) ) |
|———————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. አማካይን ማስላት ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
የውሂብ ጠቅላላ ብዛት \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
ስለዚህ፣ አማካይ (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. የልዩነት ስሌት ( \( S^2 \) )
\( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) ማስላት ያስፈልገናል፡
\[
\begin{align}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
እና (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
እና (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
እና (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
እና (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
በተደጋጋሚ ማባዛት፡
\[
\begin{align}
f_i (x_i – \bar{x})^2: እና 2 \times 118.84 = 237.68 \\
እና 5 ጊዜ 33.64 = 168.2 \\
እና 8 ጊዜ 0.64 = 5.12 \\
እና 7 \ ጊዜ 17.64 = 123.48 \\
እና 3 ጊዜ 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
አሁን ልዩነቱን (\( S^2 \) ማስላት እንችላለን፡
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. መደበኛ መዛባትን ማስላት ( \( S \) )
መደበኛ መዛባት ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
ከሲምፑላን
ከላይ ካለው የምሳሌ መረጃ፣ የሚከተለውን አለን፦
- አማካይ የሰውነት ክብደት ማስላት: 62.8 ኪ.ግ.
– የልዩነት ስሌት፡ 32.85 ኪ.ግ²
– መደበኛውን መዛባት ማስላት፡ 5.73 ኪ.ግ
የመደበኛ መዛባት ትርጓሜው የክብደት መረጃው ከአማካይ አማካይ መዛባት በግምት 5.73 ኪ.ግ ነው። ይህ የውሂብ ስርጭት ከአማካይ ጋር ሲነጻጸር ያሳያል፣ ይህም መረጃችን ምን ያህል ተለዋዋጭ እንደሆነ ለመረዳት ይረዳል።
በተለይም በስታቲስቲክስ፣ በምርምር እና በሙከራ ላይ ለሚሰሩ ሰዎች መረጃን በቡድን ወይም በስርጭት መልክ ለመረዳት ስለሚሞክሩ የልዩነት እና የመደበኛ መዛባት ጥልቅ ግንዛቤ ወሳኝ ነው። እነዚህን ሁለት መለኪያዎች እንዴት ማስላት እና መተርጎም እንደሚቻል ማወቅ በእጅ ባለው መረጃ ላይ በመመስረት የተሻለ ውሳኔ ለማድረግ ይረዳል።
