የሂሳብ ሽክርክር የውይይት ጥያቄዎች ምሳሌ

የምሳሌ ችግሮች የሂሳብ ሽክርክሪትን መወያየት

ፔንዳሁሉአን

ሽክርክሪት በሂሳብ ውስጥ በተደጋጋሚ የሚከሰት የጂኦሜትሪክ ለውጥ ነው፣ በተለይም በጂኦሜትሪ። ሽክርክሪት አንድን ነገር በተወሰነ ነጥብ (የሽክርክሪት ማዕከል) ዙሪያ በሰዓት አቅጣጫ ወይም በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ በተወሰነ ማዕዘን ዙሪያ ማዞርን ያካትታል። የሽክርክሪት ጽንሰ-ሀሳብ አተገባበር እንደ ኮምፒውተር ግራፊክስ፣ ፊዚክስ እና ምህንድስና ባሉ መስኮች ወሳኝ ነው። ይህ ጽሑፍ በሂሳብ ውስጥ የተለያዩ የሽክርክሪት ምሳሌዎችን እና ውይይቶችን ይዳስሳል።

የማዞሪያ ዘዴን መረዳት

ሽክርክሪት የአንድን ነገር እያንዳንዱን ነጥብ በተወሰነ አቅጣጫ፣ የማሽከርከር ማዕከል ተብሎ በሚጠራው ቋሚ ነጥብ ዙሪያ በማዞር የሚያንቀሳቅስ ለውጥ ነው። አንግል θ እና የማሽከርከር ማዕከል (a, b) ያለው ሽክርክሪት አጠቃላይ አገላለጽ እንደ R_(a, b)(θ) ሊጻፍ ይችላል።

በመነሻው (0፣ 0) ላይ የማዞሪያው ማዕከል በθ ዲግሪዎች የሚሽከረከር ነጥብ P(x፣ y)፣ ከዙሪያው በኋላ የP' (x'፣ y') አዲስ መጋጠሚያዎች በቀመሩ በመጠቀም ይገኛሉ፡
– x' = x cos θ – y ኃጢአት θ
– y' = x sin θ + y cos θ

ከውይይቶቻቸው ጋር በማጠናቀቅ የማሽከርከር ችግሮች ምሳሌዎችን እንመልከት።

የናሙና ጥያቄዎች እና ውይይቶች

ምሳሌ ጥያቄ 1
ጥያቄ፡ የነጥብ A(3, 4) አዲስ መጋጠሚያዎችን በ90 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ከዞሩ በኋላ በመነሻው (0, 0) ላይ የማዞሪያው ማዕከል ይወስኑ።

ውይይት፡- በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ 90 ዲግሪ አንግል ያለው የማዞሪያ ቀመርን በመጠቀም፡

– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x ኃጢአት(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3

ስለዚህ፣ ከዙሪያ በኋላ የA' አዲሶቹ መጋጠሚያዎች (-4፣ 3) ናቸው።

ምሳሌ ጥያቄ 2
ጥያቄ፡ ነጥብ B(2፣ -1) በሰዓት አቅጣጫ 180 ዲግሪ ሲሽከረከር የማዞሪያው ማዕከል በመነሻው (0፣ 0) ይቀራል። ከዙሪያው በኋላ የነጥብ Bን አዲስ መጋጠሚያዎች ይወስኑ።

ውይይት፡- በሰዓት አቅጣጫ ወይም በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ የ180 ዲግሪ ማሽከርከር ተመሳሳይ ውጤት ያስገኛል፣ ማለትም የነጥቡ መጋጠሚያዎች ወደ (-x፣ -y) ይቀየራሉ።

– x' = -x = -2
– y' = -y = 1

ስለዚህ፣ የ B' አዲሶቹ መጋጠሚያዎች (-2፣ 1) ናቸው።

ምሳሌ ጥያቄ 3
ጥያቄ፡ ነጥብ C(-3, 5) በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ 270 ዲግሪ ይሽከረከራል፣ የመዞሪያው ማዕከል በመነሻው (0፣ 0) ላይ ይሽከረከራል። ከዙሪያው በኋላ ነጥብ Cን ይወስኑ።

ውይይት፡- በሰዓት አቅጣጫ በተቃራኒ አቅጣጫ 270 ዲግሪ መሽከርከር ከ90 ዲግሪ በሰዓት አቅጣጫ መሽከርከር ጋር እኩል ነው።

– x' = x cos(90°) + ኃጢአት(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3

ስለዚህ፣ ከዙሪያ በኋላ የC' አዲሶቹ መጋጠሚያዎች (5፣ -3) ናቸው።

ምሳሌ ጥያቄ 4
ጥያቄ፡ የነጥብ D(5፣ 5) አዲስ መጋጠሚያዎችን በመነሻው (0፣ 0) ላይ በማዞር 45 ዲግሪውን ካሽከረከሩ በኋላ ይወስኑ።

ውይይት፡- የማሽከርከር ፎርሙላውን በ45 ዲግሪ አንግል በመጠቀም፡

– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(ኃጢአት(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
- y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2

ስለዚህ፣ ከዙሪያ በኋላ የD' አዲሶቹ መጋጠሚያዎች (0፣ 5√2) ናቸው።

የማዞሪያ ማዕከል ያለው ሽክርክር መነሻው ላይ ያልሆነ

ሽክርክሪቶች ሁልጊዜ ስለ መነሻው አይከናወኑም። ለምሳሌ፣ አንድን ነጥብ በማዞሪያው መሃል (h፣ k) ማዞር እንፈልጋለን እንበል። ይህንን ለማድረግ፣ መጋጠሚያዎቹን እንደሚከተለው ማስተካከል አለብን፡

1. ነጥቡን (h፣ k) መነሻው እንዲሆን ተርጉመው።
2. የማዞሪያ ፎርሙላውን ይጠቀሙ።
3. ወደ መጀመሪያው ቦታ ተርጉም።

ምሳሌ ጥያቄ 5
ጥያቄ፡ ነጥብ E(5፣ 7) በ90 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ የማሽከርከር ማዕከል በነጥብ (2፣ 3) ይሽከረከራል። ከዙሪያው በኋላ የነጥብ Eን አዲስ መጋጠሚያዎችን ይወስኑ።

ውይይት፡

1. ነጥብ Eን ከዙሪያው መሃል አንጻር ወደ መነሻው ይተርጉሙ (2፣ 3):
– አዲስ ነጥብ E' = (5 – 2፣ 7 – 3) = (3፣ 4)

2. በአዲሱ ነጥብ ዙሪያ 90 ዲግሪ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ አሽከርክር፡
– x' = 3 cos(90°) – 4 ኃጢአት(90°) = -4
- y' = 3 ኃጢአት(90°) + 4 cos(90°) = 3

ስለዚህ፣ ከማሽከርከር በኋላ ያሉት መጋጠሚያዎች (-4፣ 3) ናቸው።

3. ከዙሪያው መሃል አንጻር ወደ መጀመሪያው ቦታ መተርጎም (2፣ 3):
– የመጨረሻ ነጥብ E' = (-4 + 2፣ 3 + 3) = (-2፣ 6)

ስለዚህ፣ ከማሽከርከር በኋላ የነጥብ E አዲሶቹ መጋጠሚያዎች (-2፣ 6) ናቸው።

ከሲምፑላን

የሂሳብ ሽክርክሪቶችን መተንተንና መረዳት በተለያዩ አተገባበሮች ውስጥ ወሳኝ ነው። ከላይ በተጠቀሱት ምሳሌዎችና ውይይቶች፣ አንባቢዎች የሽክርክሪት ቀመሮች እንዴት እንደሚሠሩ እና በተለያዩ ሁኔታዎች ላይ እንዴት ሊተገበሩ እንደሚችሉ እንዲረዱ ይጠበቅባቸዋል። ይህ ልምምድ መሰረታዊ የሂሳብ ትምህርቶችን ከማጠናከር ባለፈ በሌሎች የጂኦሜትሪክ ለውጦችን በሚያካትቱ ዘርፎችም ጠቃሚ ነው።