በክበብ እኩልታ ላይ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ

በክበብ እኩልታ ላይ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ

የክበብ እኩልታ በትንታኔ ጂኦሜትሪ ውስጥ አስፈላጊ ርዕስ ነው። የክበብ እኩልታ ጥሩ ግንዛቤ በሂሳብ ብቻ ሳይሆን በተለያዩ የምህንድስና እና ሳይንሳዊ አፕሊኬሽኖችም እጅግ በጣም ጠቃሚ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የክበብ እኩልታዎችን እና የመፍትሄዎቻቸውን በርካታ ምሳሌዎችን እንወያያለን። ግቡ የክበብ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል ግልጽ እና አጠቃላይ አጠቃላይ እይታ መስጠት ነው።

የአንድ ክበብ አጠቃላይ እኩልታ

በካርቴዥያን መጋጠሚያዎች ውስጥ በጣም የተለመደው የክበብ እኩልታ፡

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

የት፡
– \((a, b) \) የክበቡ መሃል መጋጠሚያዎች ናቸው።
– \( r \) የክበቡ ራዲየስ ነው።

የክበቡ መሃል በነጥብ \((0, 0) \) ላይ ከሆነ የክበቡ እኩልታ የሚከተለው ይሆናል፡

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

አሁን፣ የአንዳንድ ምሳሌዎችን ጥያቄዎች እና መፍትሄዎቻቸውን እንወያይ።

ምሳሌ ጥያቄ 1

ጥያቄ፡ ማዕከሉ በነጥብ (3፣ -2) ላይ የሚገኝ እና የ5 ራዲየስ ያለው የክበብ እኩልታ ይወስኑ።

መፍትሄ፡

ለክበብ እኩልታ አጠቃላይ ቀመር ይጠቀሙ፦

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

እሴቶቹን \( a = 3 \), \( b = -2 \), እና \( r = 5 \) ይተኩ፡

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

ስለዚህ የክበቡ እኩልታ፡

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

ምሳሌ ጥያቄ 2

ጥያቄ፡ ማዕከሉ በመነሻው (0፣ 0) ላይ የሆነ እና ራዲየስ 7 ያለው የክበብ እኩልታ ይወስኑ።

መፍትሄ፡

የክበቡ መሃል በመነሻው ላይ ስለሆነ፣ ቀላልውን እኩልታ መጠቀም እንችላለን፡

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

እሴቱን ይተኩ \( r = 7 \):

\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]

ስለዚህ የክበቡ እኩልታ፡

\[ x^2 + y^2 = 49 \]

ምሳሌ ጥያቄ 3

ጥያቄ፡ ማዕከሉ በነጥብ (4፣ -5) ላይ የሚገኝ እና የ Y ዘንግ የሚነካ ክብ እኩልታ ይወስኑ።

መፍትሄ፡

ከY-ዘንግ ጋር ያለው ክብ ታንጀንት ማለት ከክበቡ መሃል እስከ Y-ዘንግ ያለው ርቀት ከራዲየሱ ጋር እኩል ነው። ይህ ርቀት የክበቡ መሃል የX-መጋጠሚያ ፍጹም እሴት ነው። ስለዚህ፣ ራዲየሱ 4 ነው።

ለክበብ እኩልታ አጠቃላይ ቀመር ይጠቀሙ፦

\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

እሴቶቹን \( a = 4 \), \( b = -5 \), እና \( r = 4 \) ይተኩ፡

\[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]

ስለዚህ የክበቡ እኩልታ፡

\[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]

ምሳሌ ጥያቄ 4

ጥያቄ፡- አንድ ክበብ እኩልታ \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \) አለው። የክበቡን መሃል እና ራዲየስ ይወስኑ።

መፍትሄ፡

ይህንን እኩልታ ለመፍታት፣ ወደ መደበኛ ቅጽ \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \) መቀየር አለብን። ለማጠናቀቅ የሚያስፈልጉት ደረጃዎች እንደሚከተለው ናቸው፡

1. ፍጹም ካሬዎችን መመደብ እና መፍታት፡

የመጀመሪያው እኩልታ የሚከተለው ነው፦
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4ይ – 12 = 0 \]

ቡድን \( x \) እና \( y \):
\[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]

2. ፍጹም የሆነውን ካሬ ይፍቱ፡

ለ\( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]

ለ\( y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]

በሁለቱም እኩልታዎች ላይ 9 እና 4 ጨምር፡
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4ይ + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

ስለዚህ፣ በመደበኛ ቅርፅ የአንድ ክበብ እኩልታ፡

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

ከዚህ በመነሳት የክበቡ መሃል \((3፣ -2) \) እና ራዲየስ \(r = \sqrt{25} = 5 \) መሆኑን ማየት እንችላለን።

ምሳሌ ጥያቄ 5

ጥያቄ፡ በነጥቦች (2፣ 3) እና (4፣ 5) ውስጥ የሚያልፈውን እና መሃል ያለው በ x = 3 መስመር ላይ ያለውን የክብ እኩልታ ይወስኑ።

መፍትሄ፡

ከጥያቄው በመነሳት፣ የክበቡ መሃል (3፣ ለ) መሆኑን እናውቃለን። ክበቡም በሁለት የሚታወቁ ነጥቦች ውስጥ ያልፋል። ክበቡ የሚያልፈው በ (2፣ 3) ስለሆነ፣ ከመሃል እስከዚህ ነጥብ ያለው ርቀት ራዲየስ ነው።

የክበብ እኩልታ፡

\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]

የመተኪያ ነጥብ (2፣ 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – ለ)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – ለ)^2 = r^2 \]
\[ (3 – ለ)^2 = r^2 – 1 \]

የመተኪያ ነጥብ (4፣ 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – ለ)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – ለ)^2 = r^2 \]
\[ (5 – ለ)^2 = r^2 – 1 \]

ከሁለቱ እኩልታዎች (3 – ለ)^2 = (5 – ለ)^2 እናውቃለን። ስለዚህ፡
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]

ከሆነ \( 3 – b = 5 – b \)፣ ውጤቱ እውነት ሊሆን አይችልም። ስለዚህ፡
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ ለ = 4 \]

በ b = 4፣ የክበቡ እኩልታ፡
\[ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 2 \]

ሆኖም ግን፣ በመሃል እና በነጥቡ መካከል ካለው ርቀት ራዲየስ rን ማስላት እንችላለን (2፣ 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)

የክበቡ እኩልታ፡
\[ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 2 \]

ከሲምፑላን

የክበብ እኩልታ መረዳት ብዙ የሂሳብ ችግሮችን መፍታት ቀላል ያደርገዋል። በእያንዳንዱ ሁኔታ፣ መሃል እና ራዲየስን መለየት ወሳኝ ነው። እነዚህ የምሳሌ ችግሮች እና ማብራሪያዎቻቸው ግልጽነትን እንደሚሰጡ እና የክበብ እኩልታ እንዲማሩ እንደሚረዱዎት ተስፋ እናደርጋለን። ልምምድ በሂሳብ ውስጥ ፍጹም ያደርገዋል፣ ስለዚህ ክህሎቶችዎን ለማሻሻል የተለያዩ ችግሮችን ለመሞከር አያመንቱ።