በክፍሎች ቬክተሮችን ስለማከል የውይይት ጥያቄ ምሳሌ

የቬክተር መደመርን በክፍለ አካል የሚመለከቱ የምሳሌ ጥያቄዎች

የቬክተር መጨመር በፊዚክስ እና በሂሳብ ውስጥ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ቬክተሮችን ለማግኘት የሚያገለግል መሠረታዊ ሂደት ነው። የቬክተር መጨመርን ለመፍታት በክፍል-ተኮር አቀራረብ በተለይ ጠቃሚ ዘዴ ነው፣ በተለይም በሁለት ወይም በሦስት ልኬቶች ውስጥ ካሉ ቬክተሮች ጋር ሲገናኝ። ይህ ጽሑፍ በክፍል-ተኮር ቬክተር መጨመርን ጽንሰ-ሀሳብ ያብራራል እና በርካታ የችግር ምሳሌዎችን እና መፍትሄዎችን ይሰጣል።

የክፍለ አካል ቬክተር መጨመር ጽንሰ-ሀሳብ

በሁለት-ልኬት (2D) ቦታ ውስጥ ያለ እያንዳንዱ ቬክተር በሁለት ክፍሎች ሊከፈል ይችላል፡ x ​​(አግድም) አካል እና y (ቋሚ) አካል። በሶስት ልኬቶች (3D)፣ ቬክተሮች ተጨማሪ አካል አላቸው፣ z (ጥልቀት) አካል።

ሁለት ቬክተሮች A እና B እንዳሉን እናስብ። የእነዚህ ቬክተሮች ክፍሎች እንደሚከተለው ሊገለጹ ይችላሉ፡

– ቬክተር ኤ በ2D (ወይም በ3D) ውስጥ ክፍሎች \(A_x\) እና \(A_y\) አሉት።
– ቬክተር ቢ በ2D (ወይም በ3D) ውስጥ ክፍሎች \(B_x\) እና \(B_y\) አሉት።

የእነዚህ ሁለት ቬክተሮች መጨመር የሚከተሉትን ክፍሎች የያዘ ውጤት ያለው ቬክተር R ይፈጥራል፡

\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]

በ3D ውስጥ ላሉ ቬክተሮች፣ የ z ክፍልም የሚከተለው ነው፡

\[ R_z = A_z + B_z \]

የውጤት ቬክተርን እያንዳንዱን ክፍል ካሰላን በኋላ፣ የውጤት ቬክተሩን ሞዱለስ (መጠን) እና አቅጣጫ በቀመሩ በመጠቀም ማግኘት እንችላለን፡

\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (ለ2D)

ወይም ለ3D፦

\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]

እና የውጤቱ ቬክተር አቅጣጫ የሚወሰነው ወደ ኮኦርዲኔቲቭ ዘንጎች በሚወስደው አንግል ነው።

የናሙና ጥያቄዎች እና ውይይቶች

ጥያቄ 1
በሁለት-ልኬት አውሮፕላን ውስጥ ሁለት ቬክተሮች ተሰጥተዋል፡
– A በስተ ምሥራቅ \(5 \, \text{unit}\) ነው።
– B በስተሰሜን \(3 \, \text{unit}\) ነው።

የውጤቱን ቬክተር ይወስኑ R.

ውይይት
በመጀመሪያ፣ ቬክተሩን ወደ ተለያዩ ክፍሎቹ እንለውጣለን።
– ቬክተር ኤ፡ \(A = (5፣ 0)\) ምክንያቱም x ​​ክፍል ብቻ ስላለው።
– ቬክተር ቢ፡ \(B = (0, 3)\) ምክንያቱም የy አካል ብቻ ስላለው።

የክፍሎቹ ድምር እነሆ፡-
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]

ከዚያም የተገኘው ቬክተር R የሚከተለው ነው፡
\[ R = (5፣ 3) \]

የቬክተር R ርዝመት (ሞዱለስ) ለማስላት፡
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]

የቬክተር R አቅጣጫ ወደ x-ዘንግ የሚያመራውን አንግል θ በመጠቀም ሊሰላ ይችላል፡
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]

ስለዚህ፣ የተገኘው ቬክተር R 5.83 አሃዶች ርዝመት ያለው ሲሆን በ x-ዘንግ 30.96° አንግል ይፈጥራል።

ጥያቄ 2
በሦስት ልኬቶች ሁለት ቬክተሮች ተሰጥተዋል፡
– A is \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B is \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)

የውጤቱን ቬክተር ይወስኑ R.

ውይይት
በመጀመሪያ፣ የእያንዳንዱን ቬክተር ክፍሎች እንለያለን፡
– ቬክተር ኤ፡ \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– ቬክተር ቢ፡ \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).

የክፍሎቹ ድምር እነሆ፡-
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]

ከዚያም የተገኘው ቬክተር R የሚከተለው ነው፡
\[ R = (4፣ 6፣ 3) \]

የቬክተር R ርዝመት (ሞዱለስ) ለማስላት፡
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]

የቬክተር R አቅጣጫ ከ x፣ y እና z ዘንጎች ጋር ሲነጻጸር የዳይሬክተሩን ኮሳይን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል፡
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \approx 59.50^\circ \]

\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]

\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \approx 67.64^\circ \]

ስለዚህ፣ የተገኘው ቬክተር R ወደ 7.81 የሚጠጉ አሃዶች ርዝመት ያለው ሲሆን ከ x፣ y እና z ዘንጎች ጋር በተያያዘ አቅጣጫዎቹ 59.50°፣ 39.50° እና 67.64° ናቸው።

ጥያቄ 3
ሁለት ቬክተሮች ተሰጥተዋል፡
– P የ4 አሃዶች መጠን ያለው ሲሆን ወደ አወንታዊ x-ዘንግ 45° አንግል ይፈጥራል።
– Q የ6 አሃዶች መጠን ያለው ሲሆን ወደ አወንታዊ x-ዘንግ 120° አንግል ይፈጥራል።

የውጤቱን ቬክተር ይወስኑ R.

ውይይት
በመጀመሪያ፣ ቬክተሩን ወደ x እና y ክፍሎች እንከፍላለን፡
– ቬክተር ፒ፡ \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– ቬክተር ጥ፡ \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).

የክፍሎቹ ድምር እነሆ፡-
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]

ከዚያም፣ የውጤቱ ቬክተር R የሚከተለው ነው፡
\[ R = (-0.17፣ 8.03) \]

የቬክተር R ርዝመት (ሞዱለስ) ለማስላት፡
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \approx 8.03 \]

የቬክተር አቅጣጫ R፡
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]

ሆኖም፣ ይህ አንግል የሚለካው በአሉታዊ x-ዘንግ ዙሪያ ነው፣ ስለዚህ በችግሩ አውድ ውስጥ ያለው ትክክለኛው አንግል፡
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \approx 91.01^\circ \]

ስለዚህ፣ የተገኘው ቬክተር R ወደ 8.03 የሚጠጉ አሃዶች ርዝመት ያለው ሲሆን በአዎንታዊ x-ዘንግ 91.01° አንግል ይፈጥራል።

ይህ ጽሑፍ በክፍል-ተኮር የቬክተር መደመር ላይ ተብራርቷል፣ በርካታ የምሳሌ ችግሮችን እና መፍትሄዎችን ያቀርባል። በክፍል-ተኮር ዘዴው ስሌቶችን ለማቃለል እና በቦታ የሂሳብ ልኬት ውስጥ የቬክተር ችግሮችን ለመፍታት ስልታዊ መንገድ በማቅረብ በጣም ጠቃሚ ነው።