የተዋሃዱትን አተገባበር የሚመለከቱ ምሳሌዎች ጥያቄዎች

የምሳሌ ጥያቄዎች እና የተዋሃዱ አፕሊኬሽኖች ውይይት

ውህደት በካልኩለስ ውስጥ እንደ ፊዚክስ፣ ኢኮኖሚክስ፣ ባዮሎጂ እና ኢንጂነሪንግ ባሉ የተለያዩ የሳይንስ ዘርፎች በርካታ አፕሊኬሽኖችን የያዘ መሠረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ነው። ኢንተግራሎች በአንድ ኩርባ ስር ያለውን ቦታ፣ የአንድ ጠንካራ መጠን፣ የስራ፣ የግፊት እና ሌሎችንም ለማስላት ያገለግላሉ። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ በርካታ የተዋሃዱ አፕሊኬሽኖችን ምሳሌዎች እናያለን፣ ከዚያም እንዴት መፍታት እንደሚቻል ዝርዝር ማብራሪያዎችን እንከተላለን።

1. ከከርቭው በታች ያለውን ቦታ መወሰን

ከተዋሃዱ ነገሮች በጣም የተለመዱ አፕሊኬሽኖች አንዱ በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ በአንድ ተግባር ኩርባ ስር ያለውን ቦታ ማስላት ነው። የክልሉን ስፋት በኩርባ \(y = x^2\) እና ከ \(x\) ዘንግ ከ \(x = 0\) እስከ \(x = 2\) ማግኘት እንፈልጋለን እንበል።

የችግሮች ምሳሌ፡
ከ \(x = 0\) እስከ \(x = 2\) ባለው ኩርባ ስር ያለውን ቦታ ይወስኑ።

ውይይት፡
ከ \(x = 0\) እስከ \(x = 2\) ባለው ኩርባ ስር ያለውን ቦታ ለማግኘት የተግባሩን የተወሰነ ውህደት ማስላት ያስፈልገናል፡

\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]

ደረጃ 1፡ የ\(x^2\) ውህደትን ይወስኑ።

የ\(x^2\) ውህደት እንደሚከተለው መሆኑን ልብ ይበሉ፦

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

ደረጃ 2፡ የተዋሃደውን ገደብ \(0\) ወደ \(2\) ይተግብሩ።

\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]

ደረጃ 3፡ የገደብ እሴቱን አስሉ።

\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]

ስለዚህ፣ ከ\(x = 0\) እስከ \(x = 2\) ባለው ኩርባ \(y = x^2\) ስር ያለው ቦታ \( \frac{8}{3} \) የቦታ አሃዶች ነው።

2. የሚሽከረከሩ ነገሮችን መጠን ማስላት

ኢንተግራሎች የሪዮሽን ጠጣር መጠንን ለማስላትም ያገለግላሉ። አንድ ክልል በ\(x\) ዘንግ ዙሪያ የሚሽከረከር ከሆነ የነገሩ መጠን በዲስክ ዘዴ ወይም በቀለበት ዘዴ ሊገኝ ይችላል።

የችግሮች ምሳሌ፡
በኩርባው \(y = \sqrt{x}\) የተገደበው ክልል እና መስመሩ \(x = 4\) በ \(x\) ዘንግ ዙሪያ ሲሽከረከር የሚፈጠረውን ነገር መጠን ያሰሉ።

ውይይት፡
የአንድ ጠጣር አብዮት መጠን ለማግኘት የዲስክ ዘዴን መጠቀም እንችላለን። የተገኘው ጠጣር መጠን \(V\) እንደሚከተለው ሊገለጽ ይችላል፡

\[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]

የት \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), እና \(b = 4\).

ደረጃ 1፡ የድምጽ መጠን ኢንተግሬት ይቅረጹ።

\[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \]

ደረጃ 2፡ በ integral ውስጥ ያለውን ተግባር ቀለል ያድርጉት።

\[V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]

ደረጃ 3፡ የ\(x\) ውህደትን ይወስኑ።

\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]

ደረጃ 4፡ ገደቦቹን \(0\) እስከ \(4\) ይተግብሩ።

\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]

ደረጃ 5፡ የገደብ እሴቱን አስሉ።

\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]

ስለዚህ፣ የተገኘው ነገር መጠን \(8\pi\) የድምጽ አሃዶች ነው።

3. በተለዋዋጭ ኃይል የተሰራውን ስራ ማስላት

በፊዚክስ ውስጥም የተዋሃዱ አፕሊኬሽኖች ይገኛሉ፣ ከእነዚህም አንዱ አንድ ነገር ከአንድ ነጥብ ወደ ሌላ ሲንቀሳቀስ በተለዋዋጭ ኃይል የተሰራውን ስራ ማስላት ነው።

የችግሮች ምሳሌ፡
አንድ ኃይል \(F(x) = 3x^2\) ኒውተን ከ \(x = 1\) ሜትር ወደ \(x = 3\) ሜትር በሚንቀሳቀስ ቅንጣት ላይ ይሰራል። በኃይሉ የተሰራውን ስራ አስሉ።

ውይይት፡
በኃይል \(F(x)\) የተሰራው \(W\) ስራ ከ \(a\) ወደ \(b\) በሚፈናቀለው ላይ የ \(F(x)\) ውህደትን በማስላት ማግኘት ይቻላል፡

\[ ወ = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]

የት \(a = 1\), \(b = 3\), እና \(F(x) = 3x^2\).

ደረጃ 1፡ የሥራውን ውህደት ይፍጠሩ።

\[ ወ = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]

ደረጃ 2፡ የ\(3x^2\) ውህደትን ይወስኑ።

\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]

ደረጃ 3፡ ገደቦቹን \(1\) እስከ \(3\) ይተግብሩ።

\[ ወ = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]

ደረጃ 4፡ የገደብ እሴቱን አስሉ።

\[ ወ = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]

ስለዚህ፣ በኃይሉ የተሰራው ስራ \(26\) ጁልስ ነው።

4. የሃይድሮስታቲክ ግፊትን መወሰን

በፊዚክስ ውስጥ፣ ውህደቶች በፈሳሽ ውስጥ በተጠመቀ ወለል ላይ ያለውን የሃይድሮስታቲክ ግፊት ለማስላትም ያገለግላሉ።

የችግሮች ምሳሌ፡
6 ሜትር ቁመት እና 4 ሜትር ስፋት ያለው ቋሚ ሳህን በውሃ ውስጥ ተጥለቅልቆ ጫፉ ከውሃው ወለል በላይ ነው። በሳህኑ ላይ ያለውን የውሃ ግፊት አጠቃላይ ኃይል አስሉ።

ውይይት፡
በውሃ ውስጥ ጥልቀት \(h\) ላይ ያለው ግፊት የሚሰጠው በ \(P = \rhogh\) ሲሆን \(\rho\) የውሃ ጥግግት ነው (ወደ \(1000 \text{ kg/m}^3\)) እና \(g\) በስበት ኃይል ምክንያት የሚፈጠረውን ፍጥነት ነው (ወደ \(9.8 \text{ m/s}^2\))።

ለጠቅላላው የግፊት ኃይል፣ ግፊቱን በሳህኑ ቋሚ ቦታ ላይ ማዋሃድ አለብን።

ደረጃ 1፡ የግፊት ተግባሩን ይወስኑ።

\[ P(y) = \rho gy \]

ደረጃ 2፡ ጠቅላላ ኃይል \(F\) ከ \(y = 0\) እስከ \(y = 6\) ያለውን የአንደኛ ደረጃ አካባቢ \(dA\) የግፊት ጊዜ ውህደት ነው።

\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]

ደረጃ 3፡ ቋሚዎቹን ቀለል ያድርጉት።

\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]

ደረጃ 4፡ የ\(y\) ውህደትን ይወስኑ።

\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]

ደረጃ 5፡ ገደቦቹን \(0\) እስከ \(6\) ይተግብሩ።

\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]

ደረጃ 6፡ የገደብ እሴቱን አስሉ።

\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]

ስለዚህ፣ በፕላኑ ላይ ያለው የውሃ ግፊት አጠቃላይ ኃይል \(705600\) ኒውተን ነው።

ከሲምፑላን

በተለያዩ አፕሊኬሽኖች ውስጥ የውህደት አጠቃቀም ውስብስብ አካላዊ መጠኖችን ለማስላት እጅግ በጣም ጥሩ የትንታኔ ኃይል ይሰጣል። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ በኩርባ ስር ያለውን ቦታ ለማስላት ውህደቶች እንዴት እንደሚተገበሩ፣ የአንድ አብዮት ጠጣር መጠን፣ በተለዋዋጭ ኃይል የተሰራውን ስራ እና ሃይድሮስታቲክ ግፊትን ተወያይተናል። የውህደት ቴክኒኮችን በጥሩ ሁኔታ በመረዳት፣ በሳይንስ እና በኢንጂነሪንግ ውስጥ የሚነሱ የተለያዩ ተግባራዊ ችግሮችን መፍታት እንችላለን።