በምርት ጊዜ ትስስር ላይ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ

የምርት ጊዜ ትስስር ምሳሌዎች ጥያቄዎች እና ውይይት

የምርት-ሞመንት ትሬሌሽን፣ እንዲሁም ፒርሰን ትሬሌሽን በመባል የሚታወቀው፣ በሁለት ተለዋዋጮች መካከል ያለውን መስመራዊ ግንኙነት ጥንካሬ እና አቅጣጫ ለመለካት የሚያገለግል የስታቲስቲክስ ዘዴ ነው። ይህ ዘዴ ከአካዳሚክ ምርምር እና ከንግድ ትንተና እስከ በተፈጥሮ ሳይንስ ውስጥ ያሉ ሙከራዎችን መገምገም ድረስ በተለያዩ መስኮች ጠቃሚ ነው። ይህ ጽሑፍ የምርት-ሞመንት ትሬሌሽንን ለማስላት በርካታ የምሳሌ ችግሮችን እና መፍትሄዎቻቸውን ያብራራል።

ፔንዳሁሉአን

ወደ ምሳሌ ጥያቄዎች ከመግባታችን በፊት፣ የምርት ሞመንት ኮሬሌሽን መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብን መረዳት ጥሩ ሀሳብ ነው። የፒርሰን ኮሬሌሽን ኮፊሸንት (\(r\)) ለማስላት የሚያገለግል አጠቃላይ ቀመር፡

\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]

የት፡
– \(n \) የውሂብ ጥንዶች ብዛት ነው።
– \( \sum{XY} \) የ \( X \) እና \( Y \) ምርቶች ድምር ነው።
– \( \sum{X} \) የተለዋዋጮች ድምር \( X \) ነው።
– \( \sum{Y} \) የተለዋዋጮች ድምር \( Y \) ነው።
– \( \sum{X^2} \) የተለዋዋጭው \( X \) የካሬዎች ድምር ነው።
– \( \sum{Y^2} \) የተለዋዋጭው \( Y \) የካሬዎች ድምር ነው።

የፒርሰን የጥምር ጥምርታ (\( r \)) ሁልጊዜ በ -1 እና 1 መካከል ነው። አወንታዊ ትስስሩ ሁለቱም ተለዋዋጮች በአንድ አቅጣጫ እንደሚንቀሳቀሱ ያሳያል፣ አሉታዊ ትስስሩ ደግሞ አንድ ተለዋዋጭ ሲጨምር ሌላኛው እንደሚቀንስ ያሳያል። \( r = 0 \) ከሆነ፣ በሁለቱ ተለዋዋጮች መካከል ምንም መስመራዊ ትስስሩ የለም።

ምሳሌ ጥያቄ 1

መረጃ

የሚከተለው ለ5 ተማሪዎች የሂሳብ እና የፊዚክስ ፈተና ውጤት መረጃ ነው፡

| ተማሪ | ሂሳብ (X) | ፊዚክስ (Y) |
|——-|———————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |

የጥራት ደረጃዎች

1. አስፈላጊ ክፍሎችን ማስላት፡

– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369

2. በቀመር ውስጥ ያስገቡ፡

\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]

3. ውጤቶችን ማስላት፡

– አሃዛዊ፡ \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– ዲኖሚነተር፡
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)

\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]

ስለዚህ፣ በሂሳብ እና በፊዚክስ የፈተና ውጤቶች መካከል ያለው የፒርሰን የትብብር ጥምርታ 0.633 ሲሆን ይህም በሁለቱ ተለዋዋጮች መካከል መካከለኛ አዎንታዊ ትስስር እንዳለ ያመለክታል።

ምሳሌ ጥያቄ 2

መረጃ

የሚከተለው በኩባንያ ውስጥ ከስድስት ወራት የሽያጭ ዋጋ እና የማስታወቂያ ወጪ መረጃ ነው፡

| ወር | ማስታወቂያ (X) | ሽያጭ (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |

የጥራት ደረጃዎች

1. አስፈላጊ ክፍሎችን ማስላት፡

– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000

2. በቀመር ውስጥ ያስገቡ፡

\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]

3. ውጤቶችን ማስላት፡

– አሃዛዊ፡ \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– ዲኖሚነተር፡
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)

\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]

ስለዚህ፣ በማስታወቂያ ወጪ እና በሽያጭ ዋጋ መካከል ያለው የፒርሰን ትስስር ኮፊሸንት 0.981 ሲሆን ይህም በሁለቱ ተለዋዋጮች መካከል በጣም ጠንካራ አዎንታዊ ትስስር እንዳለ ያሳያል።

ከሲምፑላን

የፒርሰን ኮሪደር ኮፊሸንት (\(r\)) በሁለት ተለዋዋጮች መካከል ያለውን መስመራዊ ግንኙነት ለመረዳት በጣም ጠቃሚ መሳሪያ ነው። በተሰጡት ምሳሌዎች ውስጥ የ\(r\) እሴትን እንዴት ማስላት እና መተርጎም እንደሚቻል እንመለከታለን። ከፍ ያለ ኮሪደር (ከ1 ወይም -1 ጋር የቀረበ) ጠንካራ ግንኙነትን ያመለክታል፣ ዝቅተኛ ኮሪደር (ከ0 ጋር የቀረበ) ደግሞ ደካማ ግንኙነትን ያመለክታል። ኮሪደርነት መንስኤን እንደማያመለክት ልብ ማለት ያስፈልጋል፤ በሁለቱ ተለዋዋጮች መካከል ግንኙነት እንዳለ ብቻ ያሳያል።