በውሳኔ ኮፊሸንት ላይ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ
የውሳኔ ኮፊሸንት (R²) በሪግሬሽን ትንተና ውስጥ አስፈላጊ መለኪያ ሲሆን፣ የሪግሬሽን ሞዴል የውሂብን ትክክለኛ ተለዋዋጭነት ምን ያህል በጥሩ ሁኔታ እንደሚያብራራ ያሳያል። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ የውሳኔ ኮፊሸንት ጽንሰ-ሀሳብን በዝርዝር ምሳሌ እና ውይይት እናብራራለን።
የውሳኔ ኮፊሸንት መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ
የውሳኔ ወይም \( R^2 \) ኮፊሸንት የሚለካው ከ0 እስከ 1 ባለው ሚዛን ላይ ሲሆን፣
– \( R^2 = 0 \) የሚያመለክተው የሪግሬሽን ሞዴሉ የውሂብ ተለዋዋጭነትን ጨርሶ ማስረዳት እንደማይችል ነው።
– \( R^2 = 1 \) የሪግሬሽን ሞዴሉ የውሂብን ተለዋዋጭነት ሙሉ በሙሉ በትክክል ማስረዳት እንደሚችል ያሳያል።
የውሳኔውን ኮፊሸንት ለማስላት መሰረታዊው ቀመር፡
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
የት፡
– SSR (የካሬ ቀሪዎች ድምር) በሞዴሉ የተተነበዩ እሴቶች እና በእውነተኛ እሴቶች መካከል ያለው ልዩነት ካሬዎች ድምር ነው።
– SST (የካሬዎች ጠቅላላ ድምር) በእውነተኛው እሴት እና በእውነተኛ እሴቶች አማካይ መካከል ያለው ልዩነት የካሬዎች ድምር ድምር ነው።
የችግሮች ምሳሌ
የውሳኔ ኮፊሸንት ስሌትን በጥልቀት ለመረዳት አንድ የምሳሌ ችግር እንመልከት።
የችግሮች ምሳሌ፡
የ10 ተማሪዎች የጥናት ሰዓት (X) እና የፈተና ውጤቶች (Y) መረጃ አለን እንበል።
| ተማሪዎች | የጥናት ሰዓቶች (X) | የፈተና ውጤት (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
የፈተና ውጤቶች (Y) በጥናት ሰዓቶች (X) ላይ ተመስርተው የሚተነበዩበት ቀላል መስመራዊ የሪግሬሽን ሞዴል እንፈጥራለን።
ውይይት
1. ቀላል መስመራዊ የሪግሬሽን ሞዴል መገንባት
ቀላል መስመራዊ የሪግሬሽን ሞዴል የሚከተለውን ቅጽ አለው፦
\[ Y = a + bX \]
የት፡
– \( Y \) የተገመተው የፈተና ውጤት ነው።
– \( X \) የጥናት ሰዓቶች ብዛት ነው።
– \( a \) መቆራረጥ ነው (X = 0 ሲሆን በY ዘንግ ላይ ያለው የመጋጠሚያ ነጥብ)።
– \( b \) ቁልቁለት (የሪግሬሽን መስመሩ ዝንባሌ) ነው።
መለኪያዎችን \(a \) እና \(b \) ለማስላት የሚከተለውን ቀመር እንጠቀማለን፡
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
የት \( n \) የውሂብ ብዛት ነው (በዚህ ሁኔታ n = 10)።
ከሠንጠረዡ ማስላት እንችላለን፡
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
በመጀመሪያ bን እናሰላ፡
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ ለ = 4 \]
ከዚያም የሚከተለውን እናሰላለን፦
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
ስለዚህ፣ የምናገኘው መስመራዊ የሪግሬሽን ሞዴል፡
\[ Y = 56 + 4X \]
2. የተገመተውን እሴት (Y') አስላ
ቀጥሎ፣ ለእያንዳንዱ \( X \) የተገመተውን እሴት \( Y' \) እናሰላለን፡
| ተማሪዎች | የጥናት ሰዓቶች (X) | የፈተና ውጤት (Y) | የተገመተው ውጤት (Y') |
|——-|———————–|————————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. የኤስኤስአር እና የኤስኤስቲ (SST) ማስላት
ቀጥሎ፣ \( R^2 \) ለማግኘት SSR እና SSTን እናሰላለን።
ኤስኤስአር፡
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ ኤስኤስአር = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ ኤስኤስአር = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ ኤስኤስአር = 454 \]
ኤስኤስቲ፡
\[ SST = \sum{(Y - \bar{Y})^2} \]
የት፡
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. የውሳኔውን ኮፊሸንት ማስላት \( R^2 \)፡
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
ከሲምፑላን
ከላይ ከተጠቀሰው ስሌት፣ የውሳኔ ኮፊሸንት አግኝተናል (R2 = 0.59)። ይህ የሚያሳየው የፈጠርነው መስመራዊ ሪግሬሽን ሞዴል በጥናት ሰዓቶች ላይ በመመስረት በፈተና ውጤቶች ውስጥ ያለውን ተለዋዋጭነት በግምት 59% ሊያብራራ እንደሚችል ነው። የቀረው 41% ልዩነት በሞዴሉ ውስጥ ያልተካተቱ ሌሎች ምክንያቶች ሊሆኑ ይችላሉ።
ከላይ ያሉትን ደረጃዎች እና ስሌቶች በመረዳት፣ የምንገነባው የሪግሬሽን ሞዴል የውሂብን ትክክለኛ ተለዋዋጭነት ምን ያህል በጥሩ ሁኔታ እንደሚያብራራ ለመገምገም የውሳኔ ኮፊሸንት ምን ያህል አስፈላጊ እንደሆነ ማየት እንችላለን። በስታቲስቲክስ ትንተና እና በመረጃ ሞዴሊንግ ውስጥ በጣም ጠቃሚ መሳሪያ ነው።
