በቢኖሚያል ስርጭት ላይ የውይይት ጥያቄ ምሳሌ

የሁለትዮሽ ስርጭት ምሳሌዎች ጥያቄዎች እና ውይይት

የሁለትዮሽ ስርጭት በብዛት ጥቅም ላይ ከሚውሉት የተከፋፈሉ የፕሮባቢሊቲ ስርጭቶች አንዱ ነው። እያንዳንዳቸው ስኬት ወይም ውድቀትን የሚያመጡ ተመሳሳይ፣ ገለልተኛ ሙከራዎችን ጨምሮ የስኬቶችን ብዛት ለመቅረጽ ጠቃሚ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ፣ በርካታ ምሳሌዎችን እና ዝርዝር ውይይትን በማቅረብ ወደ ሁለትዮሽ ስርጭት በጥልቀት እንገባለን።

የሁለትዮሽ ስርጭት መግቢያ

የሁለትዮሽ ስርጭት የሚከተሉትን ዋና ዋና ባህሪያት አሉት፡

1. n: የሙከራዎች ወይም የድግግሞሾች ብዛት።
2. ገጽ፡ በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ የስኬት ዕድል።
3. q = 1-p: በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ የመውደቅ እድል።

የቢኖሚያል ስርጭት ፕሮባቢሊቲ ጅምላ ተግባር፡

\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]

የት፡

– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): የስኬቶችን ብዛት የሚወክል የዘፈቀደ ተለዋዋጭ።
– \( k \): የተፈለጉ የስኬቶች ብዛት።

የናሙና ጥያቄዎች እና ውይይቶች

የሁለትዮሽ ስርጭት ጽንሰ-ሀሳብን በዝርዝር ለመረዳት አንዳንድ የችግር ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1፡ ከተማሪዎች ቡድን መምረጥ

ለምሳሌ፣ 10 ተማሪዎች ያሉት ቡድን እንዳለን እና እያንዳንዱ ተማሪ በውድድር የመሳተፍ እድሉ 0,3 ነው። በትክክል 4 ተማሪዎች የመመረጣቸውን እድል ማወቅ እንፈልጋለን።

ደረጃ 1፡ የቢኖሚያል ስርጭት መለኪያዎችን ይለዩ።
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)

ደረጃ 2፡ የ \( X = 4 \) እድልን ለማስላት የሁለትዮሽ ስርጭትን ይጠቀሙ።

\[ P(X = 4) = {10 \ምረጥ 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]

በማስላት ላይ \( {10 \choose 4} \)፡

\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]

አሁን \( (0.3)^4 \) እና \( (0.7)^6 \) አስላ፦

\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]

ስለዚህ፣

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]

ስለዚህ፣ በትክክል 4 ተማሪዎች የመመረጥ እድሉ በግምት 0.20012 ወይም 20.012% ነው።

ምሳሌ 2፡ ከ2 ያነሰ ወይም እኩል የሆነ የመሆን እድል

ለምሳሌ፣ አሁን፣ ከሁለት ተማሪዎች ያነሰ ወይም እኩል የመመረጥ እድል እንዳለ ተጠይቀናል።

ደረጃ 1፡ \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), እና \( P(X = 2) \) ማስላት አለብን።

– ለ \( P(X = 0) \):

\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]

– ለ \( P(X = 1) \):

\[ P(X = 1) = {10 \ምረጥ 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]

– ለ \( P(X = 2) \):

\[ P(X = 2) = {10 \ምረጥ 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]

ደረጃ 2፡ እድሎችን ጨምር።

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]

ስለዚህ፣ ከሁለት ተማሪዎች ያነሰ ወይም እኩል የመመረጥ እድሉ በግምት 0.7740671 ወይም 77.41% ነው።

ምሳሌ 3፡ ቢያንስ 8 የመሆን እድል

አንድ ሙከራ 12 ጊዜ ከተከናወነ እና በእያንዳንዱ ሙከራ ውስጥ የስኬት እድሉ 0.5 ከሆነ፣ ቢያንስ 8 ስኬቶች የመከሰት እድሉ ስንት ነው?

ደረጃ 1፡ የሁለትዮሽ መለኪያዎችን ያዘጋጁ፡ \( n = 12፣ p = 0.5 \)።

ደረጃ 2፡ የ \( X \geq 8 \) እድልን ያግኙ።

ይህ በርካታ የግለሰብ እድሎችን ማስላት እና እነሱን መደመር ይጠይቃል፦

\[ P (X \geq 8) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) \]

አንድ በአንድ ይቁጠሩ፦

– ለ \( P(X = 8) \):

\[ P(X = 8) = {12 \ምረጥ 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]

– ለ \( P(X = 9) \):

\[ P(X = 9) = {12 \ምረጥ 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]

– ለ \( P(X = 10) \):

\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]

– ለ \( P(X = 11) \):

\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]

– ለ \( P(X = 12) \):

\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]

ደረጃ 3፡ ሁሉንም እድሎች ያክሉ።

\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \በግምት 0.1938477 \]

ስለዚህ፣ በ12 ሙከራዎች ውስጥ ቢያንስ 8 ስኬቶች የመከሰት እድሉ በግምት 0.1938477 ወይም 19.38% ነው።

ከሲምፑላን

የሁለትዮሽ ስርጭት በስታቲስቲክስ ውስጥ መሠረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ሲሆን በብዙ ተግባራዊ አተገባበሮች ውስጥ ወሳኝ ነው። ከላይ ባሉት ምሳሌዎች ላይ እንደሚታየው ለተለያዩ የሁለትዮሽ ስርጭት ጉዳዮች እድሎችን እንዴት ማስላት እንደሚቻል በመረዳት፣ ይህንን ፅንሰ-ሀሳብ በእውነተኛ ዓለም ሁኔታዎች ውስጥ ተግባራዊ ማድረግ እንችላለን። ይህ ልምምድ የዕድል መዋቅሮች ግልጽ እና በተደራጀ አውድ ውስጥ እንዴት እንደሚሠሩ ያለንን ግንዛቤ ያጠናክራል።