ስለ ውስብስብ ቁጥሮች የሚወያዩ ምሳሌዎች ጥያቄዎች

ውስብስብ ቁጥሮችን የሚመለከቱ የምሳሌ ጥያቄዎች

ውስብስብ ቁጥሮች በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትም ሆነ በኮሌጅ ደረጃዎች በሂሳብ ውስጥ በተደጋጋሚ የሚገናኙ ርዕሰ ጉዳዮች ናቸው። ውስብስብ ቁጥሮች ሁለት ክፍሎችን ያቀፉ ናቸው፡ እውነተኛ ክፍል እና ምናባዊ ክፍል። በተለምዶ የፊደል አጻጻፍ በመጠቀም፣ ውስብስብ ቁጥር እንደ \( z = a + bi \) ይጻፋል፣ \( a \) እና \( b \) እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ እና \( i \) ከንብረቱ \( i^2 = -1 \) ጋር ምናባዊ አሃድ ነው። ይህ ጽሑፍ ከመሠረታዊ ስራዎች እስከ በችግር አፈታት ውስጥ አፕሊኬሽኖች ድረስ ውስብስብ ቁጥሮችን በተመለከተ ስላደረጉት ውይይት በርካታ ምሳሌዎችን እና ውይይታቸውን ይሸፍናል።

የናሙና ጥያቄዎች እና ውይይቶች

1. የውስብስብ ቁጥሮች መደመር እና መቀነስ

ጥያቄ 1
ፍቀድ \( z_1 = 3 + 4i \) እና \( z_2 = 1 - 2i \)። \( z_1 + z_2 \) እና \( z_1 – z_2 \) አስላ።

ውይይት
ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጨመር ወይም ለመቀነስ፣ እውነተኛውን ክፍል በእውነተኛው ክፍል እና ምናባዊውን ክፍል ደግሞ ምናባዊውን ክፍል እንጠቀማለን።

ተጨማሪ፡
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]

መቀነስ፦
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]

ስለዚህ፣ \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) እና \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \)።

2. የውስብስብ ቁጥሮች ማባዛት

ጥያቄ 2
የ\( z_1 = 2 + 3i \) ውጤት በ \( z_2 = 4 – i \) አስላ።

ውይይት
ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ለማባዛት፣ የአልጀብራን የማከፋፈያ ባህሪ እንጠቀማለን፡

\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]

እያንዳንዱን ክፍል እናባዛለን፡-

\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]

\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]

ከ\( i^2 = -1 \) ጀምሮ፣ ከዚያ፦

\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]

ስለዚህ፣ ምርቱ \(z_1 \cdot z_2 \) \( 11 + 10i \) ነው።

3. የውስብስብ ቁጥሮች ክፍፍል

ጥያቄ 3
የ \( z_1 = 3 + 4i \) እሴት በ \( z_2 = 1 – i \) አስላ።

ውይይት
ውስብስብ ቁጥርን ለመከፋፈል፣ አሃዛዊውን እና አካፋይን በውስብስብ ቁጥሩ አካፋይ ውህድ እናባዛለን። የ\( 1 – i \) አቻው \( 1 + i \) ነው።

\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]

መጀመሪያ ዲኖሚነተሩን እናሰላ፡

\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]

አሁን አሃዛዊውን እናሰላለን፡

\[
(3 + 4i) (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4 (-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]

ስለዚህ፣ ውጤቱ፡-

\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]

4. ሞዱለስ እና የውስብስብ ቁጥሮች ክርክር

ጥያቄ 4
የ \( z = 1 + i \) ሞጁሉን እና ክርክርን ይወስኑ።

ውይይት
የውስብስብ ቁጥር \( z = a + bi \) ሞዱለስ፡

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

ለ \( z = 1 + i \)፣ \( a = 1 \) እና \( b = 1 \) አሉን፡

\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር ከአዎንታዊ እውነተኛ ዘንግ ጋር የተፈጠረው አንግል \( \theta \) ሲሆን ከመነሻው እስከ ነጥቡ \( (a, b) \) ይለካል።

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]

\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]

ስለዚህ፣ የ\( z = 1 + i \) ሞዱለስ \( \sqrt{2} \) ሲሆን ክርክሩ \( \frac{\pi}{4} \) ነው።

5. ኤክስፖነንሻል ፎርም እና የዩለር ፓተርን

ጥያቄ 5
ውስብስብ ቁጥሩን \( z = 1 + i \) ወደ ኤክስፖኔንታል ቅርጽ ይለውጡ።

ውይይት
የዩለርን ቀመር በመጠቀም የውስብስብ ቁጥሮች ኤክስፖነንሻል ቅርፅ፡

\[
z = re^{i\theta}
\]

\(r \) ሞዱለስ እና \( \theta \) ክርክር የት ነው። ከቀደመው ውይይት፣ የሚከተለውን እናውቃለን፡

\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]

ስለዚህ፣ የኤክስፖኔንሲቭ ፎርሙ፡

\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]

6. የውስብስብ ቁጥሮች ሥሮች

ጥያቄ 6
የውስብስብ ቁጥሩን ካሬ ሥሮች \( z = -1 \) ያግኙ።

ውይይት
የውስብስብ ቁጥሮች ካሬ ሥሮች ፖላር ወይም ኤክስፖኔንታል ፎርም በመጠቀም ማግኘት ይቻላል። \( z = -1 \)ን ወደ ኤክስፖኔንታል ፎርም እንለውጣለን፡

\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]

የ \(e^{i\pi} \) ካሬ ሥር እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል፡

\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]

በ \( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), እና \( k = 0, 1 \):

\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]

\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]

ስለዚህ፣ የ\(-1 \) ካሬ ሥሮች \(i \) እና \( -i \) ናቸው።

7. በኳድራቲክ እኩልታዎች ውስጥ ያሉ አፕሊኬሽኖች

ጥያቄ 7
የኳድራቲክ እኩልታ \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) ይፍቱ።

ውይይት
የኳድራቲክ ፎርሙላን መጠቀም እንችላለን፡

\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

ለእኩልታው \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):

\[
a = 1፣ b = 4፣ c = 13
\]

\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]

ስለዚህ፣ የ\( z^2 + 4z + 13 = 0 \) መፍትሄዎች \( z = -2 + 3i \) እና \( z = -2 – 3i \) ናቸው።

ከሲምፑላን

ውስብስብ ቁጥሮች በርካታ አፕሊኬሽኖችን የያዘ በጣም ሰፊ የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳብ ናቸው። እንደ መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛት እና ማካፈል ያሉ መሰረታዊ አሠራሮችን እንዲሁም ሞዱለስ እና ክርክርን እንዴት ማስላት እንደሚቻል በመረዳት፣ ውስብስብ ቁጥሮችን የሚያካትቱ የተለያዩ ችግሮችን መፍታት እንችላለን። ከላይ የተጠቀሱት ምሳሌዎች ይህንን ርዕስ በተሻለ ሁኔታ ለመረዳት እና ለመቆጣጠር እንደሚረዱዎት ተስፋ እናደርጋለን።