Mann-Whitney-toets in statistiek
Statistiek is 'n tak van wiskunde wat handel oor die insameling, analise, interpretasie en aanbieding van data. Statistiek word in verskeie velde gebruik om datagedrewe besluite te neem. Een tegniek wat gereeld in statistiek gebruik word, is die Mann-Whitney-toets (ook bekend as die Mann-Whitney U-toets of die Wilcoxon-rangsomtoets). Dit is 'n nie-parametriese metode wat gebruik word om te bepaal of daar 'n beduidende verskil tussen twee ongepaarde groepe is.
Inleiding tot die Mann-Whitney-toets
Die Mann-Whitney-toets is in 1947 deur Henry Mann en Donald Whitney bekendgestel as 'n nie-parametriese alternatief vir die t-toets. Hierdie metode vereis nie die aanname van normaliteit nie. Daarom is dit veral nuttig wanneer die data nie 'n normale verspreiding volg nie, of wanneer die steekproefgrootte te klein is om die normaliteitsaanname te valideer.
Basiese Beginsels van die Mann-Whitney-toets
Die Mann-Whitney-toets word gebruik om die mediane van twee groepe te vergelyk. Die basiese beginsel is:
1. Rangorde van waarneming: Alle data van beide groepe word gekombineer en van kleinste tot grootste gerangskik. Indien daar identiese waardes is, word elke waarneming gerangskik volgens die gemiddelde van sy korrekte rangorde.
2. Statistiese Toets Berekening: Die statistiese toetswaarde (U) word bereken op grond van die som van die range vir elke groep. Daar is twee maniere om te bereken: een wat met die eerste groep begin en die ander met die tweede groep.
– Die algemene formule vir U is:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
atau
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
Waar:
– \(n_1\) en \(n_2\) is die aantal waarnemings in elke groep,
– \(R_1\) en \(R_2\) is die aantal range in elke groep.
3. Betekenistoets: Die betekenistoets word uitgevoer om die p-waarde te bepaal. In toestande van groot steekproefgrootte kan die U-verspreiding benader word deur 'n normale verspreiding.
Aannames in die Mann-Whitney-toets
Alhoewel die Mann-Whitney-toets 'n nie-parametriese toets is en nie die aanname van normale verspreiding vereis nie, is daar verskeie verwante aannames wat nagekom moet word vir die geldigheid van die resultate:
1. Onafhanklikheid: Elke waarneming in beide groepe moet onafhanklik van mekaar wees.
2. Ordinale of Intervalskaal: Data moet op 'n ordinale of intervalskaal wees. Dit beteken die data kan gesorteer word en rangskikkingsinligting bevat.
3. Verspreidingsreeks: Die verspreiding van beide groepe moet dieselfde vorm hê (alhoewel die mediaan verskillend kan wees).
Stappe in die uitvoering van die Mann-Whitney-toets
Hier volg die stappe wat gewoonlik gevolg word om die Mann-Whitney-toets uit te voer:
1. Kombineer en sorteer data: Kombineer die data van beide groepe en sorteer hulle oor die algemeen. Ranglys word toegeken volgens die volgorde met aanpassings vir rang gekoppel aan die gemiddelde waarde.
2. Bereken die aantal ranglyste: Bereken die aantal ranglyste vir elke groep.
3. Bepaling van die U-waarde van Statistiek: Gebruik die formule wat voorheen verduidelik is om die U-waarde vir beide groepe te bereken.
4. Bepaling van die Kritieke Waarde of p-Waarde: Vergelyk die verkrygde U-waarde met die kritieke waarde van die U-verspreidingstabel (of bereken die p-waarde) om te bepaal of die verskil tussen die groepe statisties beduidend is.
Byvoorbeeld, veronderstel ons het twee stelle data A en B. Hierdie data kan twee verskillende terapieë vir 'n spesifieke siekte verteenwoordig, en ons wil weet of een terapie meer effektief is as die ander.
Voorbeeld Praktyk
Kom ons sê ons het twee terapiegroepe:
– Terapie A: [85, 90, 88, 75, 91]
– Terapie B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Samevoeging en Sortering van Data:
– Saamgestel: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Orde en Rangorde: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Berekening van die aantal range:
– Aantal Terapie A-graderings: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– Aantal Terapie B-graderings: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Berekening van U-waarde:
\[
U_A = n_1 ⋅ n_2 + \frac{n_1 ⋅ (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 ⋅ 5 + \frac{5 ⋅ (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 ⋅ n_2 + \frac{n_2 ⋅ (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 ⋅ 5 + \frac{5 ⋅ (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Kies 'n kleiner U-waarde, naamlik U = 11.
4. Bepaling van betekenis:
Vergelyk die verkrygde U-waarde met die kritieke U-waarde van die Mann-Whitney-verspreidingstabel of bereken die p-waarde. Indien U minder as die kritieke waarde is of die p-waarde laer as alfa is (bv. 0,05), verwerp ons die nulhipotese en kom tot die gevolgtrekking dat daar 'n beduidende verskil tussen die twee groepe is.
Voordele en Beperkings van die Mann-Whitney-toets
Voordele:
1. Nie-parametries: Vereis nie die aanname van normale verspreiding nie.
2. Buigsaamheid: Kan gebruik word wanneer die data op 'n ordinale skaal is of uitskieters het.
3. Eenvoudig en effektief: Maklik om te bereken en te interpreteer.
Keerbatasan:
1. Verlies aan doeltreffendheid: In 'n normale verspreiding is die t-toets meer doeltreffend.
2. Aanname van dieselfde verspreidingsvorm: Hierdie toets veronderstel dieselfde verspreidingsvorm tussen die twee groepe.
3. Gebonde aan klein steekproefgroottes: Die asimptotiese verspreiding mag minder akkuraat wees op baie klein steekproewe.
Afsluiting
Die Mann-Whitney-toets is 'n kragtige en buigsame nie-parametriese instrument om verskille tussen twee ongepaarde groepe te identifiseer. Deur die basiese beginsels en implementeringstappe daarvan te verstaan, kan ons hierdie toets in 'n verskeidenheid toepassings oor verskeie navorsingsvelde gebruik. Alhoewel dit sekere beperkings het, maak die voordele daarvan onder sekere omstandighede dit 'n baie waardevolle metode in statistiek.
