Voorbeeldvrae en bespreking van binomiale verdeling
Die binomiale verspreiding is een van die mees gebruikte diskrete waarskynlikheidsverdelings. Dit is nuttig vir die modellering van die aantal suksesse oor 'n aantal identiese, onafhanklike proewe, wat elk óf 'n sukses óf 'n mislukking lewer. In hierdie artikel sal ons dieper in die binomiale verspreiding delf deur verskeie voorbeelde en 'n gedetailleerde bespreking te verskaf.
Inleiding tot binomiale verspreiding
Hoofkenmerke van die binomiale verspreiding:
1. n: Aantal probeerslae of herhalings.
2. p: Waarskynlikheid van sukses in elke proefneming.
3. q = 1-p: Waarskynlikheid van mislukking in elke proefneming.
Die waarskynlikheidsmassafunksie van die binomiale verspreiding is:
\[ P(X = k) = {n \kies k} p^k (1-p)^{nk} \]
Waar:
– \( {n \kies k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): 'n Stogastiese veranderlike wat die aantal suksesse verteenwoordig.
– \(k \): Die aantal suksesse wat gesoek word.
Voorbeeldvrae en bespreking
Kom ons begin met 'n paar voorbeeldprobleme om die konsep van binomiale verspreiding in meer besonderhede te verstaan.
Voorbeeld 1: Seleksie uit 'n groep studente
Byvoorbeeld, gestel ons het 'n groep van 10 studente, en die waarskynlikheid dat elke student gekies word om aan 'n kompetisie deel te neem, is 0,3. Ons wil die waarskynlikheid weet dat presies 4 studente gekies word.
Stap 1: Identifiseer die parameters van die binomiale verspreiding.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Stap 2: Gebruik die binomiale verspreiding om die waarskynlikheid van \( X = 4 \) te bereken.
[P(X = 4) = {10 \kies 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Berekening van \( {10 \kies 4} \):
\[ {10 \kies 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Bereken nou \((0.3)^4 \) en \((0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Dus,
[P(X = 4) = 210 ≥ 0.0081 ≥ 0.117649 (ongeveer 0.20012)]
Dus, die waarskynlikheid dat presies 4 studente gekies word, is ongeveer 0.20012 of 20.012%.
Voorbeeld 2: Waarskynlikheid Kleiner as of gelyk aan 2
Nou word ons byvoorbeeld gevra oor die waarskynlikheid dat minder as of gelyk aan 2 studente gekies sal word.
Stap 1: Ons moet \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \), en \(P(X = 2) \) bereken.
– Vir \(P(X = 0) \):
[P(X = 0) = {10 \kies 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \kies 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[P(X = 0) = 1 ⋅ 1 0.0282475 = 0.0282475]
– Vir \(P(X = 1) \):
[P(X = 1) = {10 \kies 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \kies 1} = 10 \]
[(0.3) ≤ (0.7)^9 = 0.1210608]
[P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 0.1210608 = 0.3631824]
– Vir \(P(X = 2) \):
[P(X = 2) = {10 \kies 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \kies 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
[P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 0.2334744 = 0.2334744]
Stap 2: Tel die waarskynlikhede bymekaar.
[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671]
Dus, die waarskynlikheid dat minder as of gelyk aan 2 studente gekies word, is ongeveer 0.7740671 of 77.41%.
Voorbeeld 3: Waarskynlikheid van ten minste 8
As 'n eksperiment 12 keer uitgevoer word, en die waarskynlikheid van sukses in elke proefneming 0.5 is, wat is die waarskynlikheid dat ten minste 8 suksesse plaasvind?
Stap 1: Stel die binomiale parameters: \(n = 12, p = 0.5 \).
Stap 2: Vind die waarskynlikheid vir \(X ≤ 8 \).
Dit vereis die berekening van verskeie individuele waarskynlikhede en die bymekaartel daarvan:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Tel een vir een:
– Vir \(P(X = 8) \):
[P(X = 8) = {12 \kies 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \kies 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[P(X = 8) = 495 ⋅ 0.0002441406 = 0.1208496]
– Vir \(P(X = 9) \):
[P(X = 9) = {12 \kies 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \kies 9} = 220 \]
[P(X = 9) = 220 ⋅ 0.0002441406 = 0.05371094]
– Vir \(P(X = 10) \):
[P(X = 10) = {12 \kies 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \kies 10} = 66 \]
[P(X = 10) = 66 ⋅ 0.0002441406 = 0.01611328]
– Vir \(P(X = 11) \):
[P(X = 11) = {12 \kies 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \kies 11} = 12 \]
[P(X = 11) = 12 ⋅ 0.0002441406 = 0.002929688]
– Vir \(P(X = 12) \):
[P(X = 12) = {12 \kies 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \kies 12} = 1 \]
[P(X = 12) = 1 ⋅ 0.0002441406 = 0.0002441406]
Stap 3: Tel al die waarskynlikhede bymekaar.
[P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ~ ongeveer 0.1938477]
Dus, die waarskynlikheid dat ten minste 8 suksesse in 12 proewe plaasvind, is ongeveer 0.1938477 of 19.38%.
Afsluiting
Die binomiale verspreiding is 'n fundamentele konsep in statistiek wat noodsaaklik is in baie praktiese toepassings. Deur te verstaan hoe om waarskynlikhede vir verskeie gevalle van die binomiale verspreiding te bereken, soos getoon in die voorbeelde hierbo, kan ons hierdie konsep in werklike situasies toepas. Hierdie oefening versterk ook ons begrip van hoe waarskynlikheidsstrukture in 'n duidelike en georganiseerde konteks werk.
